|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
双曲线$$$- 16 x^{2} + 9 y^{2} = 144$$$的性质
您的输入
求双曲线 $$$- 16 x^{2} + 9 y^{2} = 144$$$ 的中心、焦点、顶点、共轭顶点、实轴长度、半实轴长度、共轭轴长度、半共轭轴长度、通径、通径长度（焦宽）、焦半通径、偏心率、线性偏心距（半焦距）、准线、渐近线、x 轴截距、y 轴截距、定义域和值域。
解答
双曲线的方程为$$$\frac{\left(y - k\right)^{2}}{b^{2}} - \frac{\left(x - h\right)^{2}}{a^{2}} = 1$$$，其中$$$\left(h, k\right)$$$为中心，$$$a$$$和$$$b$$$分别为实半轴和虚半轴的长度。
我们的双曲线在此形式下为 $$$\frac{\left(y - 0\right)^{2}}{16} - \frac{\left(x - 0\right)^{2}}{9} = 1$$$。
因此，$$$h = 0$$$, $$$k = 0$$$, $$$a = 3$$$, $$$b = 4$$$。
标准形式为$$$\frac{y^{2}}{4^{2}} - \frac{x^{2}}{3^{2}} = 1$$$。
顶点式为 $$$\frac{y^{2}}{16} - \frac{x^{2}}{9} = 1$$$。
一般式为$$$16 x^{2} - 9 y^{2} + 144 = 0$$$。
线偏心距（半焦距）为 $$$c = \sqrt{b^{2} + a^{2}} = 5$$$。
离心率为 $$$e = \frac{c}{b} = \frac{5}{4}$$$。
第一个焦点为$$$\left(h, k - c\right) = \left(0, -5\right)$$$。
第二个焦点是 $$$\left(h, k + c\right) = \left(0, 5\right)$$$。
第一个顶点是$$$\left(h, k - b\right) = \left(0, -4\right)$$$。
第二个顶点为 $$$\left(h, k + b\right) = \left(0, 4\right)$$$。
第一个副顶点是$$$\left(h - a, k\right) = \left(-3, 0\right)$$$。
第二个副顶点是 $$$\left(h + a, k\right) = \left(3, 0\right)$$$。
长轴的长度为 $$$2 b = 8$$$。
短轴的长度为 $$$2 a = 6$$$。
焦参数是焦点与准线之间的距离: $$$\frac{a^{2}}{c} = \frac{9}{5}$$$.
通径是通过焦点并与短轴平行的弦。
第一条通径为 $$$y = -5$$$。
第二条通径为 $$$y = 5$$$。
第一条通径的端点可通过求解方程组 $$$\begin{cases} 16 x^{2} - 9 y^{2} + 144 = 0 \\ y = -5 \end{cases}$$$ 得到（步骤参见 方程组计算器）。
第一条通径的端点为$$$\left(- \frac{9}{4}, -5\right)$$$, $$$\left(\frac{9}{4}, -5\right)$$$。
第二条通径的端点可以通过解方程组 $$$\begin{cases} 16 x^{2} - 9 y^{2} + 144 = 0 \\ y = 5 \end{cases}$$$ 求得（步骤见方程组计算器）。
第二条通径的端点为 $$$\left(- \frac{9}{4}, 5\right)$$$, $$$\left(\frac{9}{4}, 5\right)$$$。
通径（焦宽）的长度为 $$$\frac{2 a^{2}}{b} = \frac{9}{2}$$$。
第一条准线为$$$y = k - \frac{b^{2}}{c} = - \frac{16}{5}$$$。
第二条准线为 $$$y = k + \frac{b^{2}}{c} = \frac{16}{5}$$$。
第一条渐近线为$$$y = - \frac{b}{a} \left(x - h\right) + k = - \frac{4 x}{3}$$$。
第二条渐近线是$$$y = \frac{b}{a} \left(x - h\right) + k = \frac{4 x}{3}$$$。
可以通过在方程中令$$$y = 0$$$并对$$$x$$$求解来找到 x 轴截距（步骤见 截距计算器）。
由于没有实数解，因此没有 x 截距。
与 y 轴的交点可以通过在方程中令$$$x = 0$$$并求解$$$y$$$来找到: (步骤参见 截距计算器)。
y 轴截距：$$$\left(0, -4\right)$$$, $$$\left(0, 4\right)$$$
答案
标准形式/方程: $$$\frac{y^{2}}{4^{2}} - \frac{x^{2}}{3^{2}} = 1$$$A.
顶点式/方程：$$$\frac{y^{2}}{16} - \frac{x^{2}}{9} = 1$$$A。
一般式/方程：$$$16 x^{2} - 9 y^{2} + 144 = 0$$$A.
第一种焦点-准线形式/方程：$$$x^{2} + \left(y + 5\right)^{2} = \frac{25 \left(y + \frac{16}{5}\right)^{2}}{16}$$$A。
第二焦点-准线形式/方程：$$$x^{2} + \left(y - 5\right)^{2} = \frac{25 \left(y - \frac{16}{5}\right)^{2}}{16}$$$A。
图像：参见 图形计算器。
中心：$$$\left(0, 0\right)$$$A。
第一个焦点：$$$\left(0, -5\right)$$$A。
第二焦点：$$$\left(0, 5\right)$$$A。
第一个顶点：$$$\left(0, -4\right)$$$A。
第二个顶点：$$$\left(0, 4\right)$$$A。
第一个副顶点：$$$\left(-3, 0\right)$$$A。
第二个副顶点：$$$\left(3, 0\right)$$$A。
长（实）轴长度：$$$8$$$A。
长半轴长度：$$$4$$$A。
短轴（共轭轴）长度：$$$6$$$A。
半短轴长度：$$$3$$$A。
第一条通径：$$$y = -5$$$A。
第二通径: $$$y = 5$$$A.
第一条通径的端点：$$$\left(- \frac{9}{4}, -5\right) = \left(-2.25, -5\right)$$$, $$$\left(\frac{9}{4}, -5\right) = \left(2.25, -5\right)$$$A。
第二条通径的端点：$$$\left(- \frac{9}{4}, 5\right) = \left(-2.25, 5\right)$$$, $$$\left(\frac{9}{4}, 5\right) = \left(2.25, 5\right)$$$A
通径长度（焦宽）：$$$\frac{9}{2} = 4.5$$$A。
半通径：$$$\frac{9}{5} = 1.8$$$A。
离心率: $$$\frac{5}{4} = 1.25$$$A.
离心距（焦点距离）：$$$5$$$A。
第一条准线：$$$y = - \frac{16}{5} = -3.2$$$A。
第二准线：$$$y = \frac{16}{5} = 3.2$$$A。
第一条渐近线：$$$y = - \frac{4 x}{3}\approx - 1.333333333333333 x$$$A。
第二条渐近线：$$$y = \frac{4 x}{3}\approx 1.333333333333333 x$$$A。
x 轴截距: 无 x 轴截距.
y轴截距：$$$\left(0, -4\right)$$$, $$$\left(0, 4\right)$$$A。
定义域：$$$\left(-\infty, \infty\right)$$$A。
值域：$$$\left(-\infty, -4\right] \cup \left[4, \infty\right)$$$A。