$$$x$$$ değişkenine göre $$$\frac{1}{\sqrt{- a^{2} + x^{2}}}$$$ fonksiyonunun integrali

Bulun: $$$\int \frac{1}{\sqrt{- a^{2} + x^{2}}}\, dx$$$.

$$$x=\cosh{\left(u \right)} \left|{a}\right|$$$ olsun.

O halde $$$dx=\left(\cosh{\left(u \right)} \left|{a}\right|\right)^{\prime }du = \sinh{\left(u \right)} \left|{a}\right| du$$$ (adımlar » görülebilir).

Ayrıca, buradan $$$u=\operatorname{acosh}{\left(\frac{x}{\left|{a}\right|} \right)}$$$ elde edilir.

İntegrand şu hale gelir

$$$\frac{1}{\sqrt{- a^{2} + x^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{a^{2} \cosh^{2}{\left( u \right)} - a^{2}}}$$$

Özdeşliği kullanın: $$$\cosh^{2}{\left( u \right)} - 1 = \sinh^{2}{\left( u \right)}$$$

$$$\frac{1}{\sqrt{a^{2} \cosh^{2}{\left( u \right)} - a^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{\cosh^{2}{\left( u \right)} - 1} \left|{a}\right|}=\frac{1}{\sqrt{\sinh^{2}{\left( u \right)}} \left|{a}\right|}$$$

$$$\sinh{\left( u \right)} \ge 0$$$ olduğunu varsayarsak, aşağıdakileri elde ederiz:

$$$\frac{1}{\sqrt{\sinh^{2}{\left( u \right)}} \left|{a}\right|} = \frac{1}{\sinh{\left( u \right)} \left|{a}\right|}$$$

İntegral şu şekilde yeniden yazılabilir

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{- a^{2} + x^{2}}} d x}}} = {\color{red}{\int{1 d u}}}$$

$$$c=1$$$ kullanarak $$$\int c\, du = c u$$$ sabit kuralını uygula:

$${\color{red}{\int{1 d u}}} = {\color{red}{u}}$$

Hatırlayın ki $$$u=\operatorname{acosh}{\left(\frac{x}{\left|{a}\right|} \right)}$$$:

$${\color{red}{u}} = {\color{red}{\operatorname{acosh}{\left(\frac{x}{\left|{a}\right|} \right)}}}$$

Dolayısıyla,

$$\int{\frac{1}{\sqrt{- a^{2} + x^{2}}} d x} = \operatorname{acosh}{\left(\frac{x}{\left|{a}\right|} \right)}$$

İntegrasyon sabitini ekleyin:

$$\int{\frac{1}{\sqrt{- a^{2} + x^{2}}} d x} = \operatorname{acosh}{\left(\frac{x}{\left|{a}\right|} \right)}+C$$

$$$\int \frac{1}{\sqrt{- a^{2} + x^{2}}}\, dx = \operatorname{acosh}{\left(\frac{x}{\left|{a}\right|} \right)} + C$$$A