$$$\frac{1}{e^{x} - 1}$$$'nin integrali

Bulun: $$$\int \frac{1}{e^{x} - 1}\, dx$$$.

$$$u=e^{x}$$$ olsun.

Böylece $$$du=\left(e^{x}\right)^{\prime }dx = e^{x} dx$$$ (adımlar » görülebilir) ve $$$e^{x} dx = du$$$ elde ederiz.

İntegral şu hale gelir

$${\color{red}{\int{\frac{1}{e^{x} - 1} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{u \left(u - 1\right)} d u}}}$$

Kısmi kesirlere ayrıştırma yapın (adımlar » görülebilir):

$${\color{red}{\int{\frac{1}{u \left(u - 1\right)} d u}}} = {\color{red}{\int{\left(\frac{1}{u - 1} - \frac{1}{u}\right)d u}}}$$

Her terimin integralini alın:

$${\color{red}{\int{\left(\frac{1}{u - 1} - \frac{1}{u}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \int{\frac{1}{u} d u} + \int{\frac{1}{u - 1} d u}\right)}}$$

$$$v=u - 1$$$ olsun.

Böylece $$$dv=\left(u - 1\right)^{\prime }du = 1 du$$$ (adımlar » görülebilir) ve $$$du = dv$$$ elde ederiz.

İntegral şu hale gelir

$$- \int{\frac{1}{u} d u} + {\color{red}{\int{\frac{1}{u - 1} d u}}} = - \int{\frac{1}{u} d u} + {\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}}$$

$$$\frac{1}{v}$$$'nin integrali $$$\int{\frac{1}{v} d v} = \ln{\left(\left|{v}\right| \right)}$$$:

$$- \int{\frac{1}{u} d u} + {\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}} = - \int{\frac{1}{u} d u} + {\color{red}{\ln{\left(\left|{v}\right| \right)}}}$$

Hatırlayın ki $$$v=u - 1$$$:

$$\ln{\left(\left|{{\color{red}{v}}}\right| \right)} - \int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(u - 1\right)}}}\right| \right)} - \int{\frac{1}{u} d u}$$

$$$\frac{1}{u}$$$'nin integrali $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$:

$$\ln{\left(\left|{u - 1}\right| \right)} - {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}} = \ln{\left(\left|{u - 1}\right| \right)} - {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}$$

Hatırlayın ki $$$u=e^{x}$$$:

$$\ln{\left(\left|{-1 + {\color{red}{u}}}\right| \right)} - \ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)} = \ln{\left(\left|{-1 + {\color{red}{e^{x}}}}\right| \right)} - \ln{\left(\left|{{\color{red}{e^{x}}}}\right| \right)}$$

Dolayısıyla,

$$\int{\frac{1}{e^{x} - 1} d x} = - x + \ln{\left(\left|{e^{x} - 1}\right| \right)}$$

İntegrasyon sabitini ekleyin:

$$\int{\frac{1}{e^{x} - 1} d x} = - x + \ln{\left(\left|{e^{x} - 1}\right| \right)}+C$$

$$$\int \frac{1}{e^{x} - 1}\, dx = \left(- x + \ln\left(\left|{e^{x} - 1}\right|\right)\right) + C$$$A