$$$\frac{1}{1 + e^{- x}}$$$'nin ikinci türevi

Birinci türevi bulun $$$\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{1 + e^{- x}}\right)$$$

$$$\frac{1}{1 + e^{- x}}$$$ fonksiyonu, iki fonksiyon $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$$$ ve $$$g{\left(x \right)} = 1 + e^{- x}$$$'nin $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ bileşimidir.

Zincir kuralını $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$ uygulayın:

$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{1 + e^{- x}}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\frac{1}{u}\right) \frac{d}{dx} \left(1 + e^{- x}\right)\right)}$$

$$$\frac{d}{du} \left(u^{n}\right) = n u^{n - 1}$$$ şeklindeki kuvvet kuralını $$$n = -1$$$ ile uygula:

$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\frac{1}{u}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(1 + e^{- x}\right) = {\color{red}\left(- \frac{1}{u^{2}}\right)} \frac{d}{dx} \left(1 + e^{- x}\right)$$

Eski değişkene geri dön:

$$- \frac{\frac{d}{dx} \left(1 + e^{- x}\right)}{{\color{red}\left(u\right)}^{2}} = - \frac{\frac{d}{dx} \left(1 + e^{- x}\right)}{{\color{red}\left(1 + e^{- x}\right)}^{2}}$$

Toplamın/farkın türevi, türevlerin toplamı/farkıdır:

$$- \frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(1 + e^{- x}\right)\right)}}{\left(1 + e^{- x}\right)^{2}} = - \frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(1\right) + \frac{d}{dx} \left(e^{- x}\right)\right)}}{\left(1 + e^{- x}\right)^{2}}$$

Sabitin türevi $$$0$$$:

$$- \frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(1\right)\right)} + \frac{d}{dx} \left(e^{- x}\right)}{\left(1 + e^{- x}\right)^{2}} = - \frac{{\color{red}\left(0\right)} + \frac{d}{dx} \left(e^{- x}\right)}{\left(1 + e^{- x}\right)^{2}}$$

$$$e^{- x}$$$ fonksiyonu, iki fonksiyon $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ ve $$$g{\left(x \right)} = - x$$$'nin $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ bileşimidir.

Zincir kuralını $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$ uygulayın:

$$- \frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(e^{- x}\right)\right)}}{\left(1 + e^{- x}\right)^{2}} = - \frac{{\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) \frac{d}{dx} \left(- x\right)\right)}}{\left(1 + e^{- x}\right)^{2}}$$

Üstel fonksiyonun türevi $$$\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) = e^{u}$$$:

$$- \frac{{\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(- x\right)}{\left(1 + e^{- x}\right)^{2}} = - \frac{{\color{red}\left(e^{u}\right)} \frac{d}{dx} \left(- x\right)}{\left(1 + e^{- x}\right)^{2}}$$

Eski değişkene geri dön:

$$- \frac{e^{{\color{red}\left(u\right)}} \frac{d}{dx} \left(- x\right)}{\left(1 + e^{- x}\right)^{2}} = - \frac{e^{{\color{red}\left(- x\right)}} \frac{d}{dx} \left(- x\right)}{\left(1 + e^{- x}\right)^{2}}$$

Sabit çarpan kuralını $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ $$$c = -1$$$ ve $$$f{\left(x \right)} = x$$$ ile uygula:

$$- \frac{e^{- x} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(- x\right)\right)}}{\left(1 + e^{- x}\right)^{2}} = - \frac{e^{- x} {\color{red}\left(- \frac{d}{dx} \left(x\right)\right)}}{\left(1 + e^{- x}\right)^{2}}$$

Kuvvet kuralını ($$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$) $$$n = 1$$$ için uygulayın, başka bir deyişle, $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:

$$\frac{e^{- x} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)}}{\left(1 + e^{- x}\right)^{2}} = \frac{e^{- x} {\color{red}\left(1\right)}}{\left(1 + e^{- x}\right)^{2}}$$

Sadeleştirin:

$$\frac{e^{- x}}{\left(1 + e^{- x}\right)^{2}} = \frac{1}{4 \cosh^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}$$

Dolayısıyla, $$$\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{1 + e^{- x}}\right) = \frac{1}{4 \cosh^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}$$$.

Ardından, $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\frac{1}{1 + e^{- x}}\right) = \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{4 \cosh^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)$$$

Sabit çarpan kuralını $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ $$$c = \frac{1}{4}$$$ ve $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{\cosh^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}$$$ ile uygula:

$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{4 \cosh^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{\cosh^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)}{4}\right)}$$

$$$\frac{1}{\cosh^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}$$$ fonksiyonu, iki fonksiyon $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u^{2}}$$$ ve $$$g{\left(x \right)} = \cosh{\left(\frac{x}{2} \right)}$$$'nin $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ bileşimidir.

Zincir kuralını $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$ uygulayın:

$$\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{\cosh^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)\right)}}{4} = \frac{{\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\frac{1}{u^{2}}\right) \frac{d}{dx} \left(\cosh{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)\right)}}{4}$$

$$$\frac{d}{du} \left(u^{n}\right) = n u^{n - 1}$$$ şeklindeki kuvvet kuralını $$$n = -2$$$ ile uygula:

$$\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\frac{1}{u^{2}}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(\cosh{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)}{4} = \frac{{\color{red}\left(- \frac{2}{u^{3}}\right)} \frac{d}{dx} \left(\cosh{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)}{4}$$

Eski değişkene geri dön:

$$- \frac{\frac{d}{dx} \left(\cosh{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)}{2 {\color{red}\left(u\right)}^{3}} = - \frac{\frac{d}{dx} \left(\cosh{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)}{2 {\color{red}\left(\cosh{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)}^{3}}$$

$$$\cosh{\left(\frac{x}{2} \right)}$$$ fonksiyonu, iki fonksiyon $$$f{\left(u \right)} = \cosh{\left(u \right)}$$$ ve $$$g{\left(x \right)} = \frac{x}{2}$$$'nin $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ bileşimidir.

Zincir kuralını $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$ uygulayın:

$$- \frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\cosh{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)\right)}}{2 \cosh^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}} = - \frac{{\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\cosh{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(\frac{x}{2}\right)\right)}}{2 \cosh^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}$$

Hiperbolik kosinüsün türevi $$$\frac{d}{du} \left(\cosh{\left(u \right)}\right) = \sinh{\left(u \right)}$$$:

$$- \frac{{\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\cosh{\left(u \right)}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(\frac{x}{2}\right)}{2 \cosh^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}} = - \frac{{\color{red}\left(\sinh{\left(u \right)}\right)} \frac{d}{dx} \left(\frac{x}{2}\right)}{2 \cosh^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}$$

Eski değişkene geri dön:

$$- \frac{\sinh{\left({\color{red}\left(u\right)} \right)} \frac{d}{dx} \left(\frac{x}{2}\right)}{2 \cosh^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}} = - \frac{\sinh{\left({\color{red}\left(\frac{x}{2}\right)} \right)} \frac{d}{dx} \left(\frac{x}{2}\right)}{2 \cosh^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}$$

Sabit çarpan kuralını $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ $$$c = \frac{1}{2}$$$ ve $$$f{\left(x \right)} = x$$$ ile uygula:

$$- \frac{\sinh{\left(\frac{x}{2} \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\frac{x}{2}\right)\right)}}{2 \cosh^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}} = - \frac{\sinh{\left(\frac{x}{2} \right)} {\color{red}\left(\frac{\frac{d}{dx} \left(x\right)}{2}\right)}}{2 \cosh^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}$$

Kuvvet kuralını ($$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$) $$$n = 1$$$ için uygulayın, başka bir deyişle, $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:

$$- \frac{\sinh{\left(\frac{x}{2} \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)}}{4 \cosh^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}} = - \frac{\sinh{\left(\frac{x}{2} \right)} {\color{red}\left(1\right)}}{4 \cosh^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}$$

Dolayısıyla, $$$\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{4 \cosh^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right) = - \frac{\sinh{\left(\frac{x}{2} \right)}}{4 \cosh^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}$$$.

Dolayısıyla, $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\frac{1}{1 + e^{- x}}\right) = - \frac{\sinh{\left(\frac{x}{2} \right)}}{4 \cosh^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}$$$.