Integralen av $$$- a^{2} - y^{2} + 1$$$ med avseende på $$$y$$$

Bestäm $$$\int \left(- a^{2} - y^{2} + 1\right)\, dy$$$.

Integrera termvis:

$${\color{red}{\int{\left(- a^{2} - y^{2} + 1\right)d y}}} = {\color{red}{\left(\int{1 d y} - \int{a^{2} d y} - \int{y^{2} d y}\right)}}$$

Tillämpa konstantregeln $$$\int c\, dy = c y$$$ med $$$c=1$$$:

$$- \int{a^{2} d y} - \int{y^{2} d y} + {\color{red}{\int{1 d y}}} = - \int{a^{2} d y} - \int{y^{2} d y} + {\color{red}{y}}$$

Tillämpa konstantregeln $$$\int c\, dy = c y$$$ med $$$c=a^{2}$$$:

$$y - \int{y^{2} d y} - {\color{red}{\int{a^{2} d y}}} = y - \int{y^{2} d y} - {\color{red}{a^{2} y}}$$

Tillämpa potensregeln $$$\int y^{n}\, dy = \frac{y^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ med $$$n=2$$$:

$$- a^{2} y + y - {\color{red}{\int{y^{2} d y}}}=- a^{2} y + y - {\color{red}{\frac{y^{1 + 2}}{1 + 2}}}=- a^{2} y + y - {\color{red}{\left(\frac{y^{3}}{3}\right)}}$$

Alltså,

$$\int{\left(- a^{2} - y^{2} + 1\right)d y} = - a^{2} y - \frac{y^{3}}{3} + y$$

Förenkla:

$$\int{\left(- a^{2} - y^{2} + 1\right)d y} = y \left(- a^{2} - \frac{y^{2}}{3} + 1\right)$$

Lägg till integrationskonstanten:

$$\int{\left(- a^{2} - y^{2} + 1\right)d y} = y \left(- a^{2} - \frac{y^{2}}{3} + 1\right)+C$$

$$$\int \left(- a^{2} - y^{2} + 1\right)\, dy = y \left(- a^{2} - \frac{y^{2}}{3} + 1\right) + C$$$A