Tangentlinjen till $$$y = x^{3} - 3 x + 2$$$ vid $$$x = 2$$$

Beräkna tangentlinjen till $$$y = x^{3} - 3 x + 2$$$ i punkten $$$x = 2$$$.

Det är givet att $$$f{\left(x \right)} = x^{3} - 3 x + 2$$$ och $$$x_{0} = 2$$$.

Bestäm funktionsvärdet i den givna punkten: $$$y_{0} = f{\left(2 \right)} = 4$$$.

Tangentens lutning i $$$x = x_{0}$$$ är derivatan av funktionen, värderad i $$$x = x_{0}$$$: $$$M{\left(x_{0} \right)} = f^{\prime }\left(x_{0}\right)$$$.

Bestäm derivatan: $$$f^{\prime }\left(x\right) = \left(x^{3} - 3 x + 2\right)^{\prime } = 3 x^{2} - 3$$$ (för steg, se derivataräknare).

Således, $$$M{\left(x_{0} \right)} = f^{\prime }\left(x_{0}\right) = 3 x_{0}^{2} - 3$$$.

Bestäm sedan lutningen i den givna punkten.

$$$m = M{\left(2 \right)} = 9$$$

Slutligen är tangentens ekvation $$$y - y_{0} = m \left(x - x_{0}\right)$$$.

Sätter vi in de funna värdena får vi $$$y - 4 = 9 \left(x - 2\right)$$$.

Eller, enklare: $$$y = 9 x - 14$$$.

Tangentlinjens ekvation är $$$y = 9 x - 14$$$A.