Tangentlinjen till $$$y = - 2 \sin{\left(x \right)}$$$ vid $$$x = 34 \pi$$$

Beräkna tangentlinjen till $$$y = - 2 \sin{\left(x \right)}$$$ i punkten $$$x = 34 \pi$$$.

Det är givet att $$$f{\left(x \right)} = - 2 \sin{\left(x \right)}$$$ och $$$x_{0} = 34 \pi$$$.

Bestäm funktionsvärdet i den givna punkten: $$$y_{0} = f{\left(34 \pi \right)} = 0$$$.

Tangentens lutning i $$$x = x_{0}$$$ är derivatan av funktionen, värderad i $$$x = x_{0}$$$: $$$M{\left(x_{0} \right)} = f^{\prime }\left(x_{0}\right)$$$.

Bestäm derivatan: $$$f^{\prime }\left(x\right) = \left(- 2 \sin{\left(x \right)}\right)^{\prime } = - 2 \cos{\left(x \right)}$$$ (för steg, se derivataräknare).

Således, $$$M{\left(x_{0} \right)} = f^{\prime }\left(x_{0}\right) = - 2 \cos{\left(x_{0} \right)}$$$.

Bestäm sedan lutningen i den givna punkten.

$$$m = M{\left(34 \pi \right)} = -2$$$

Slutligen är tangentens ekvation $$$y - y_{0} = m \left(x - x_{0}\right)$$$.

Sätter vi in de funna värdena får vi $$$y - 0 = - 2 \left(x - 34 \pi\right)$$$.

Eller, enklare: $$$y = - 2 x + 68 \pi$$$.

Tangentlinjens ekvation är $$$y = - 2 x + 68 \pi\approx 213.62830044410594 - 2 x$$$A.