Egenskaper för hyperbeln $$$- 4 x^{2} + 9 y^{2} = 36$$$

Bestäm centrum, brännpunkter, toppunkter, medtoppunkter, den transversella axelns längd, den transversella halvaxelns längd, den konjugata axelns längd, den konjugata halvaxelns längd, latera recta, längden av latera recta (fokalbredd), fokalparameter, excentricitet, linjär excentricitet (fokalavstånd), direktriser, asymptoter, skärningar med x-axeln, skärningar med y-axeln, definitionsmängd och värdemängd för hyperbeln $$$- 4 x^{2} + 9 y^{2} = 36$$$.

Ekvationen för en hyperbel är $$$\frac{\left(y - k\right)^{2}}{b^{2}} - \frac{\left(x - h\right)^{2}}{a^{2}} = 1$$$, där $$$\left(h, k\right)$$$ är centrum, $$$a$$$ och $$$b$$$ är längderna på halvaxlarna, den stora respektive den lilla.

Vår hyperbel i denna form är $$$\frac{\left(y - 0\right)^{2}}{4} - \frac{\left(x - 0\right)^{2}}{9} = 1$$$.

Således, $$$h = 0$$$, $$$k = 0$$$, $$$a = 3$$$, $$$b = 2$$$.

Standardformen är $$$\frac{y^{2}}{2^{2}} - \frac{x^{2}}{3^{2}} = 1$$$.

Toppunktsformen är $$$\frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{9} = 1$$$.

Den allmänna formen är $$$4 x^{2} - 9 y^{2} + 36 = 0$$$.

Den linjära excentriciteten (brännpunktsavståndet) är $$$c = \sqrt{b^{2} + a^{2}} = \sqrt{13}$$$.

Excentriciteten är $$$e = \frac{c}{b} = \frac{\sqrt{13}}{2}$$$.

Den första brännpunkten är $$$\left(h, k - c\right) = \left(0, - \sqrt{13}\right)$$$.

Den andra brännpunkten är $$$\left(h, k + c\right) = \left(0, \sqrt{13}\right)$$$.

Den första hörnpunkten är $$$\left(h, k - b\right) = \left(0, -2\right)$$$.

Det andra hörnet är $$$\left(h, k + b\right) = \left(0, 2\right)$$$.

Den första medtoppunkten är $$$\left(h - a, k\right) = \left(-3, 0\right)$$$.

Den andra medtoppunkten är $$$\left(h + a, k\right) = \left(3, 0\right)$$$.

Längden på huvudaxeln är $$$2 b = 4$$$.

Lillaxelns längd är $$$2 a = 6$$$.

Fokalparametern är avståndet mellan brännpunkten och direktrisen: $$$\frac{a^{2}}{c} = \frac{9 \sqrt{13}}{13}$$$.

Latera recta är de linjer som är parallella med den lilla axeln och som går genom brännpunkterna.

Det första latus rectum är $$$y = - \sqrt{13}$$$.

Det andra latus rectum är $$$y = \sqrt{13}$$$.

Ändpunkterna för den första latus rectum kan bestämmas genom att lösa systemet $$$\begin{cases} 4 x^{2} - 9 y^{2} + 36 = 0 \\ y = - \sqrt{13} \end{cases}$$$ (för stegen, se kalkylator för ekvationssystem).

Den första latus rectums ändpunkter är $$$\left(- \frac{9}{2}, - \sqrt{13}\right)$$$, $$$\left(\frac{9}{2}, - \sqrt{13}\right)$$$.

Ändpunkterna för det andra latus rectum kan bestämmas genom att lösa systemet $$$\begin{cases} 4 x^{2} - 9 y^{2} + 36 = 0 \\ y = \sqrt{13} \end{cases}$$$ (för steg, se kalkylator för ekvationssystem).

Ändpunkterna för den andra latus rectum är $$$\left(- \frac{9}{2}, \sqrt{13}\right)$$$, $$$\left(\frac{9}{2}, \sqrt{13}\right)$$$.

Längden av latera recta (fokalbredden) är $$$\frac{2 a^{2}}{b} = 9$$$.

Den första direktrisen är $$$y = k - \frac{b^{2}}{c} = - \frac{4 \sqrt{13}}{13}$$$.

Den andra direktrisen är $$$y = k + \frac{b^{2}}{c} = \frac{4 \sqrt{13}}{13}$$$.

Den första asymptoten är $$$y = - \frac{b}{a} \left(x - h\right) + k = - \frac{2 x}{3}$$$.

Den andra asymptoten är $$$y = \frac{b}{a} \left(x - h\right) + k = \frac{2 x}{3}$$$.

x-skärningspunkterna kan bestämmas genom att sätta $$$y = 0$$$ i ekvationen och lösa ut $$$x$$$ (för stegen, se skärningspunktskalkylator).

Eftersom det inte finns några reella lösningar finns det inga skärningspunkter med x-axeln.

Y-skärningspunkterna kan bestämmas genom att sätta in $$$x = 0$$$ i ekvationen och lösa ut $$$y$$$: (för steg, se kalkylator för skärningspunkter).

skärningspunkter med y-axeln: $$$\left(0, -2\right)$$$, $$$\left(0, 2\right)$$$

Standardform/ekvation: $$$\frac{y^{2}}{2^{2}} - \frac{x^{2}}{3^{2}} = 1$$$A.

Toppunktsform/ekvation: $$$\frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{9} = 1$$$A.

Allmän form/ekvation: $$$4 x^{2} - 9 y^{2} + 36 = 0$$$A.

Första brännpunkt-direktrisform/ekvation: $$$x^{2} + \left(y + \sqrt{13}\right)^{2} = \frac{13 \left(y + \frac{4 \sqrt{13}}{13}\right)^{2}}{4}$$$A.

Andra fokus-direktrisform/ekvation: $$$x^{2} + \left(y - \sqrt{13}\right)^{2} = \frac{13 \left(y - \frac{4 \sqrt{13}}{13}\right)^{2}}{4}$$$A.

Graf: se grafräknaren.

Centrum: $$$\left(0, 0\right)$$$A.

Första brännpunkten: $$$\left(0, - \sqrt{13}\right)\approx \left(0, -3.605551275463989\right)$$$A.

Andra brännpunkten: $$$\left(0, \sqrt{13}\right)\approx \left(0, 3.605551275463989\right)$$$A.

Första topppunkten: $$$\left(0, -2\right)$$$A.

Andra toppunkten: $$$\left(0, 2\right)$$$A.

Första medtoppunkt: $$$\left(-3, 0\right)$$$A.

Andra ändpunkten på lilla axeln: $$$\left(3, 0\right)$$$A.

Längd på storaxeln (transversalaxeln): $$$4$$$A.

Stora halvaxelns längd: $$$2$$$A.

Lilla (konjugata) axelns längd: $$$6$$$A.

Lilla halvaxelns längd: $$$3$$$A.

Första latus rectum: $$$y = - \sqrt{13}\approx -3.605551275463989$$$A.

Andra latus rectum: $$$y = \sqrt{13}\approx 3.605551275463989$$$A.

Ändpunkter för det första latus rectum: $$$\left(- \frac{9}{2}, - \sqrt{13}\right)\approx \left(-4.5, -3.605551275463989\right)$$$, $$$\left(\frac{9}{2}, - \sqrt{13}\right)\approx \left(4.5, -3.605551275463989\right)$$$A.

Ändpunkter för det andra latus rectum: $$$\left(- \frac{9}{2}, \sqrt{13}\right)\approx \left(-4.5, 3.605551275463989\right)$$$, $$$\left(\frac{9}{2}, \sqrt{13}\right)\approx \left(4.5, 3.605551275463989\right)$$$A.

Längden av de latera recta (fokalbredd): $$$9$$$A.

Fokalparameter: $$$\frac{9 \sqrt{13}}{13}\approx 2.496150883013531$$$A.

Excentricitet: $$$\frac{\sqrt{13}}{2}\approx 1.802775637731995$$$A.

Linjär excentricitet (fokalavstånd): $$$\sqrt{13}\approx 3.605551275463989$$$A.

Första direktrisen: $$$y = - \frac{4 \sqrt{13}}{13}\approx -1.109400392450458$$$A.

Andra direktrisen: $$$y = \frac{4 \sqrt{13}}{13}\approx 1.109400392450458$$$A.

Första asymptoten: $$$y = - \frac{2 x}{3}\approx - 0.666666666666667 x$$$A.

Andra asymptoten: $$$y = \frac{2 x}{3}\approx 0.666666666666667 x$$$A.

x-skärningspunkter: inga skärningar med x-axeln.

skärningspunkter med y-axeln: $$$\left(0, -2\right)$$$, $$$\left(0, 2\right)$$$A.

Definitionsmängd: $$$\left(-\infty, \infty\right)$$$A.

Värdemängd: $$$\left(-\infty, -2\right] \cup \left[2, \infty\right)$$$A.