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Autovalores e autovetores de $$$\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 3\\1 & 5 & 1\\3 & 1 & 1\end{array}\right]$$$

A calculadora encontrará os autovalores e autovetores da matriz quadrada $$$3$$$ x $$$3$$$ $$$\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 3\\1 & 5 & 1\\3 & 1 & 1\end{array}\right]$$$, com as etapas mostradas.

Calculadora relacionada: Calculadora de Polinômios Característicos

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Sua entrada

Encontre os autovalores e autovetores de $$$\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 3\\1 & 5 & 1\\3 & 1 & 1\end{array}\right]$$$.

Solução

Comece formando uma nova matriz subtraindo $$$\lambda$$$ das entradas diagonais da matriz dada: $$$\left[\begin{array}{ccc}1 - \lambda & 1 & 3\\1 & 5 - \lambda & 1\\3 & 1 & 1 - \lambda\end{array}\right]$$$.

O determinante da matriz obtida é $$$- \lambda^{3} + 7 \lambda^{2} - 36$$$ (para as etapas, consulte calculadora de determinantes).

Resolva a equação $$$- \lambda^{3} + 7 \lambda^{2} - 36 = 0$$$.

As raízes são $$$\lambda_{1} = 6$$$, $$$\lambda_{2} = 3$$$, $$$\lambda_{3} = -2$$$ (para ver as etapas, consulte solucionador de equações).

Esses são os autovalores.

Em seguida, encontre os autovetores.

  • $$$\lambda = 6$$$

    $$$\left[\begin{array}{ccc}1 - \lambda & 1 & 3\\1 & 5 - \lambda & 1\\3 & 1 & 1 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}-5 & 1 & 3\\1 & -1 & 1\\3 & 1 & -5\end{array}\right]$$$

    O espaço nulo dessa matriz é $$$\left\{\left[\begin{array}{c}1\\2\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (para conhecer as etapas, consulte calculadora de espaço nulo).

    Este é o autovetor.

  • $$$\lambda = 3$$$

    $$$\left[\begin{array}{ccc}1 - \lambda & 1 & 3\\1 & 5 - \lambda & 1\\3 & 1 & 1 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}-2 & 1 & 3\\1 & 2 & 1\\3 & 1 & -2\end{array}\right]$$$

    O espaço nulo dessa matriz é $$$\left\{\left[\begin{array}{c}1\\-1\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (para conhecer as etapas, consulte calculadora de espaço nulo).

    Este é o autovetor.

  • $$$\lambda = -2$$$

    $$$\left[\begin{array}{ccc}1 - \lambda & 1 & 3\\1 & 5 - \lambda & 1\\3 & 1 & 1 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}3 & 1 & 3\\1 & 7 & 1\\3 & 1 & 3\end{array}\right]$$$

    O espaço nulo dessa matriz é $$$\left\{\left[\begin{array}{c}-1\\0\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (para conhecer as etapas, consulte calculadora de espaço nulo).

    Este é o autovetor.

Responder

Autovalor: $$$6$$$A, multiplicidade: $$$1$$$A, autovetor: $$$\left[\begin{array}{c}1\\2\\1\end{array}\right]$$$A.

Autovalor: $$$3$$$A, multiplicidade: $$$1$$$A, autovetor: $$$\left[\begin{array}{c}1\\-1\\1\end{array}\right]$$$A.

Autovalor: $$$-2$$$A, multiplicidade: $$$1$$$A, autovetor: $$$\left[\begin{array}{c}-1\\0\\1\end{array}\right]$$$A.