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Valores propios y vectores propios de $$$\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 3\\1 & 5 & 1\\3 & 1 & 1\end{array}\right]$$$
Calculadora relacionada: Calculadora de polinomios característicos
Tu aportación
Encuentre los valores propios y los vectores propios de $$$\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 3\\1 & 5 & 1\\3 & 1 & 1\end{array}\right]$$$.
Solución
Comienza formando una nueva matriz restando $$$\lambda$$$ de las entradas diagonales de la matriz dada: $$$\left[\begin{array}{ccc}1 - \lambda & 1 & 3\\1 & 5 - \lambda & 1\\3 & 1 & 1 - \lambda\end{array}\right]$$$.
El determinante de la matriz obtenida es $$$- \lambda^{3} + 7 \lambda^{2} - 36$$$ (para conocer los pasos, consulte calculadora de determinantes).
Resuelve la ecuación $$$- \lambda^{3} + 7 \lambda^{2} - 36 = 0$$$.
Las raíces son $$$\lambda_{1} = 6$$$, $$$\lambda_{2} = 3$$$, $$$\lambda_{3} = -2$$$ (para conocer los pasos, consulte solucionador de ecuaciones).
Estos son los valores propios.
A continuación, encuentre los vectores propios.
$$$\lambda = 6$$$
$$$\left[\begin{array}{ccc}1 - \lambda & 1 & 3\\1 & 5 - \lambda & 1\\3 & 1 & 1 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}-5 & 1 & 3\\1 & -1 & 1\\3 & 1 & -5\end{array}\right]$$$
El espacio nulo de esta matriz es $$$\left\{\left[\begin{array}{c}1\\2\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (para conocer los pasos, consulte calculadora de espacio nulo).
Este es el vector propio.
$$$\lambda = 3$$$
$$$\left[\begin{array}{ccc}1 - \lambda & 1 & 3\\1 & 5 - \lambda & 1\\3 & 1 & 1 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}-2 & 1 & 3\\1 & 2 & 1\\3 & 1 & -2\end{array}\right]$$$
El espacio nulo de esta matriz es $$$\left\{\left[\begin{array}{c}1\\-1\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (para conocer los pasos, consulte calculadora de espacio nulo).
Este es el vector propio.
$$$\lambda = -2$$$
$$$\left[\begin{array}{ccc}1 - \lambda & 1 & 3\\1 & 5 - \lambda & 1\\3 & 1 & 1 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}3 & 1 & 3\\1 & 7 & 1\\3 & 1 & 3\end{array}\right]$$$
El espacio nulo de esta matriz es $$$\left\{\left[\begin{array}{c}-1\\0\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (para conocer los pasos, consulte calculadora de espacio nulo).
Este es el vector propio.
Respuesta
Valor propio: $$$6$$$A, multiplicidad: $$$1$$$A, vector propio: $$$\left[\begin{array}{c}1\\2\\1\end{array}\right]$$$A.
Valor propio: $$$3$$$A, multiplicidad: $$$1$$$A, vector propio: $$$\left[\begin{array}{c}1\\-1\\1\end{array}\right]$$$A.
Valor propio: $$$-2$$$A, multiplicidad: $$$1$$$A, vector propio: $$$\left[\begin{array}{c}-1\\0\\1\end{array}\right]$$$A.