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Autovalores e autovetores de $$$\left[\begin{array}{ccc}5 & 8 & 16\\4 & 1 & 8\\-4 & -4 & -11\end{array}\right]$$$

A calculadora encontrará os autovalores e autovetores da matriz quadrada $$$3$$$ x $$$3$$$ $$$\left[\begin{array}{ccc}5 & 8 & 16\\4 & 1 & 8\\-4 & -4 & -11\end{array}\right]$$$, com as etapas mostradas.

Calculadora relacionada: Calculadora de Polinômios Característicos

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Sua entrada

Encontre os autovalores e autovetores de $$$\left[\begin{array}{ccc}5 & 8 & 16\\4 & 1 & 8\\-4 & -4 & -11\end{array}\right]$$$.

Solução

Comece formando uma nova matriz subtraindo $$$\lambda$$$ das entradas diagonais da matriz dada: $$$\left[\begin{array}{ccc}5 - \lambda & 8 & 16\\4 & 1 - \lambda & 8\\-4 & -4 & - \lambda - 11\end{array}\right]$$$.

O determinante da matriz obtida é $$$- \left(\lambda - 1\right) \left(\lambda + 3\right)^{2}$$$ (para as etapas, consulte calculadora de determinantes).

Resolva a equação $$$- \left(\lambda - 1\right) \left(\lambda + 3\right)^{2} = 0$$$.

As raízes são $$$\lambda_{1} = 1$$$, $$$\lambda_{2} = -3$$$, $$$\lambda_{3} = -3$$$ (para ver as etapas, consulte solucionador de equações).

Esses são os autovalores.

Em seguida, encontre os autovetores.

  • $$$\lambda = 1$$$

    $$$\left[\begin{array}{ccc}5 - \lambda & 8 & 16\\4 & 1 - \lambda & 8\\-4 & -4 & - \lambda - 11\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}4 & 8 & 16\\4 & 0 & 8\\-4 & -4 & -12\end{array}\right]$$$

    O espaço nulo dessa matriz é $$$\left\{\left[\begin{array}{c}-2\\-1\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (para conhecer as etapas, consulte calculadora de espaço nulo).

    Este é o autovetor.

  • $$$\lambda = -3$$$

    $$$\left[\begin{array}{ccc}5 - \lambda & 8 & 16\\4 & 1 - \lambda & 8\\-4 & -4 & - \lambda - 11\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}8 & 8 & 16\\4 & 4 & 8\\-4 & -4 & -8\end{array}\right]$$$

    O espaço nulo dessa matriz é $$$\left\{\left[\begin{array}{c}-1\\1\\0\end{array}\right], \left[\begin{array}{c}-2\\0\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (para conhecer as etapas, consulte calculadora de espaço nulo).

    Estes são os autovetores.

Responder

Autovalor: $$$1$$$A, multiplicidade: $$$1$$$A, autovetor: $$$\left[\begin{array}{c}-2\\-1\\1\end{array}\right]$$$A.

Autovalor: $$$-3$$$A, multiplicidade: $$$2$$$A, autovetores: $$$\left[\begin{array}{c}-1\\1\\0\end{array}\right]$$$, $$$\left[\begin{array}{c}-2\\0\\1\end{array}\right]$$$A.