Espaço nulo de $$$\left[\begin{array}{ccc}8 & 8 & 16\\4 & 4 & 8\\-4 & -4 & -8\end{array}\right]$$$

Encontre o espaço nulo de $$$\left[\begin{array}{ccc}8 & 8 & 16\\4 & 4 & 8\\-4 & -4 & -8\end{array}\right]$$$.

A forma escalonada de linha reduzida da matriz é $$$\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 2\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{array}\right]$$$ (para conhecer as etapas, consulte calculadora de referência).

Para encontrar o espaço nulo, resolva a equação matricial $$$\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 2\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right].$$$

Se pegarmos $$$x_{2} = t$$$, $$$x_{3} = s$$$, então $$$x_{1} = - 2 s - t$$$.

Assim, $$$\mathbf{\vec{x}} = \left[\begin{array}{c}- 2 s - t\\t\\s\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}-1\\1\\0\end{array}\right] t + \left[\begin{array}{c}-2\\0\\1\end{array}\right] s.$$$

Este é o espaço nulo.

A nulidade de uma matriz é a dimensão da base para o espaço nulo.

Assim, a nulidade da matriz é $$$2$$$.

A base para o espaço nulo é $$$\left\{\left[\begin{array}{c}-1\\1\\0\end{array}\right], \left[\begin{array}{c}-2\\0\\1\end{array}\right]\right\}$$$A.

A nulidade da matriz é $$$2$$$A.