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Autovalores e autovetores de $$$\left[\begin{array}{ccc}2 & 2 & 2\\2 & 6 & 2\\2 & 2 & 2\end{array}\right]$$$

A calculadora encontrará os autovalores e autovetores da matriz quadrada $$$3$$$ x $$$3$$$ $$$\left[\begin{array}{ccc}2 & 2 & 2\\2 & 6 & 2\\2 & 2 & 2\end{array}\right]$$$, com as etapas mostradas.

Calculadora relacionada: Calculadora de Polinômios Característicos

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Sua entrada

Encontre os autovalores e autovetores de $$$\left[\begin{array}{ccc}2 & 2 & 2\\2 & 6 & 2\\2 & 2 & 2\end{array}\right]$$$.

Solução

Comece formando uma nova matriz subtraindo $$$\lambda$$$ das entradas diagonais da matriz dada: $$$\left[\begin{array}{ccc}2 - \lambda & 2 & 2\\2 & 6 - \lambda & 2\\2 & 2 & 2 - \lambda\end{array}\right]$$$.

O determinante da matriz obtida é $$$- \lambda \left(\lambda - 8\right) \left(\lambda - 2\right)$$$ (para as etapas, consulte calculadora de determinantes).

Resolva a equação $$$- \lambda \left(\lambda - 8\right) \left(\lambda - 2\right) = 0$$$.

As raízes são $$$\lambda_{1} = 8$$$, $$$\lambda_{2} = 2$$$, $$$\lambda_{3} = 0$$$ (para ver as etapas, consulte solucionador de equações).

Esses são os autovalores.

Em seguida, encontre os autovetores.

  • $$$\lambda = 8$$$

    $$$\left[\begin{array}{ccc}2 - \lambda & 2 & 2\\2 & 6 - \lambda & 2\\2 & 2 & 2 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}-6 & 2 & 2\\2 & -2 & 2\\2 & 2 & -6\end{array}\right]$$$

    O espaço nulo dessa matriz é $$$\left\{\left[\begin{array}{c}1\\2\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (para conhecer as etapas, consulte calculadora de espaço nulo).

    Este é o autovetor.

  • $$$\lambda = 2$$$

    $$$\left[\begin{array}{ccc}2 - \lambda & 2 & 2\\2 & 6 - \lambda & 2\\2 & 2 & 2 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}0 & 2 & 2\\2 & 4 & 2\\2 & 2 & 0\end{array}\right]$$$

    O espaço nulo dessa matriz é $$$\left\{\left[\begin{array}{c}1\\-1\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (para conhecer as etapas, consulte calculadora de espaço nulo).

    Este é o autovetor.

  • $$$\lambda = 0$$$

    $$$\left[\begin{array}{ccc}2 - \lambda & 2 & 2\\2 & 6 - \lambda & 2\\2 & 2 & 2 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}2 & 2 & 2\\2 & 6 & 2\\2 & 2 & 2\end{array}\right]$$$

    O espaço nulo dessa matriz é $$$\left\{\left[\begin{array}{c}-1\\0\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (para conhecer as etapas, consulte calculadora de espaço nulo).

    Este é o autovetor.

Responder

Autovalor: $$$8$$$A, multiplicidade: $$$1$$$A, autovetor: $$$\left[\begin{array}{c}1\\2\\1\end{array}\right]$$$A.

Autovalor: $$$2$$$A, multiplicidade: $$$1$$$A, autovetor: $$$\left[\begin{array}{c}1\\-1\\1\end{array}\right]$$$A.

Autovalor: $$$0$$$A, multiplicidade: $$$1$$$A, autovetor: $$$\left[\begin{array}{c}-1\\0\\1\end{array}\right]$$$A.