Autovalores e autovetores de $$$\left[\begin{array}{ccc}2 & 2 & 2\\2 & 6 & 2\\2 & 2 & 2\end{array}\right]$$$

A calculadora encontrará os autovalores e os autovetores da matriz quadrada $$$3$$$x$$$3$$$ $$$\left[\begin{array}{ccc}2 & 2 & 2\\2 & 6 & 2\\2 & 2 & 2\end{array}\right]$$$, com as etapas mostradas.

Calculadora relacionada: Calculadora do Polinômio Característico

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Encontre os autovalores e os autovetores de $$$\left[\begin{array}{ccc}2 & 2 & 2\\2 & 6 & 2\\2 & 2 & 2\end{array}\right]$$$.

Solução

Comece por formar uma nova matriz, subtraindo $$$\lambda$$$ dos elementos diagonais da matriz dada: $$$\left[\begin{array}{ccc}2 - \lambda & 2 & 2\\2 & 6 - \lambda & 2\\2 & 2 & 2 - \lambda\end{array}\right]$$$.

O determinante da matriz obtida é $$$- \lambda \left(\lambda - 8\right) \left(\lambda - 2\right)$$$ (para ver os passos, consulte calculadora de determinante).

Resolva a equação $$$- \lambda \left(\lambda - 8\right) \left(\lambda - 2\right) = 0$$$.

As raízes são $$$\lambda_{1} = 8$$$, $$$\lambda_{2} = 2$$$, $$$\lambda_{3} = 0$$$ (para as etapas, veja equation solver).

Estes são os autovalores.

Em seguida, encontre os autovetores.

$$$\lambda = 8$$$
$$$\left[\begin{array}{ccc}2 - \lambda & 2 & 2\\2 & 6 - \lambda & 2\\2 & 2 & 2 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}-6 & 2 & 2\\2 & -2 & 2\\2 & 2 & -6\end{array}\right]$$$
O espaço nulo desta matriz é $$$\left\{\left[\begin{array}{c}1\\2\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (para ver os passos, consulte calculadora do espaço nulo).
Este é o autovetor.
$$$\lambda = 2$$$
$$$\left[\begin{array}{ccc}2 - \lambda & 2 & 2\\2 & 6 - \lambda & 2\\2 & 2 & 2 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}0 & 2 & 2\\2 & 4 & 2\\2 & 2 & 0\end{array}\right]$$$
O espaço nulo desta matriz é $$$\left\{\left[\begin{array}{c}1\\-1\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (para ver os passos, consulte calculadora do espaço nulo).
Este é o autovetor.
$$$\lambda = 0$$$
$$$\left[\begin{array}{ccc}2 - \lambda & 2 & 2\\2 & 6 - \lambda & 2\\2 & 2 & 2 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}2 & 2 & 2\\2 & 6 & 2\\2 & 2 & 2\end{array}\right]$$$
O espaço nulo desta matriz é $$$\left\{\left[\begin{array}{c}-1\\0\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (para ver os passos, consulte calculadora do espaço nulo).
Este é o autovetor.

Resposta

Autovalor: $$$8$$$A, multiplicidade: $$$1$$$A, autovetor: $$$\left[\begin{array}{c}1\\2\\1\end{array}\right]$$$A.

Autovalor: $$$2$$$A, multiplicidade: $$$1$$$A, autovetor: $$$\left[\begin{array}{c}1\\-1\\1\end{array}\right]$$$A.

Autovalor: $$$0$$$A, multiplicidade: $$$1$$$A, autovetor: $$$\left[\begin{array}{c}-1\\0\\1\end{array}\right]$$$A.