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Valores propios y vectores propios de $$$\left[\begin{array}{ccc}2 & 2 & 2\\2 & 6 & 2\\2 & 2 & 2\end{array}\right]$$$
Calculadora relacionada: Calculadora de polinomios característicos
Tu aportación
Encuentre los valores propios y los vectores propios de $$$\left[\begin{array}{ccc}2 & 2 & 2\\2 & 6 & 2\\2 & 2 & 2\end{array}\right]$$$.
Solución
Comienza formando una nueva matriz restando $$$\lambda$$$ de las entradas diagonales de la matriz dada: $$$\left[\begin{array}{ccc}2 - \lambda & 2 & 2\\2 & 6 - \lambda & 2\\2 & 2 & 2 - \lambda\end{array}\right]$$$.
El determinante de la matriz obtenida es $$$- \lambda \left(\lambda - 8\right) \left(\lambda - 2\right)$$$ (para conocer los pasos, consulte calculadora de determinantes).
Resuelve la ecuación $$$- \lambda \left(\lambda - 8\right) \left(\lambda - 2\right) = 0$$$.
Las raíces son $$$\lambda_{1} = 8$$$, $$$\lambda_{2} = 2$$$, $$$\lambda_{3} = 0$$$ (para conocer los pasos, consulte solucionador de ecuaciones).
Estos son los valores propios.
A continuación, encuentre los vectores propios.
$$$\lambda = 8$$$
$$$\left[\begin{array}{ccc}2 - \lambda & 2 & 2\\2 & 6 - \lambda & 2\\2 & 2 & 2 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}-6 & 2 & 2\\2 & -2 & 2\\2 & 2 & -6\end{array}\right]$$$
El espacio nulo de esta matriz es $$$\left\{\left[\begin{array}{c}1\\2\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (para conocer los pasos, consulte calculadora de espacio nulo).
Este es el vector propio.
$$$\lambda = 2$$$
$$$\left[\begin{array}{ccc}2 - \lambda & 2 & 2\\2 & 6 - \lambda & 2\\2 & 2 & 2 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}0 & 2 & 2\\2 & 4 & 2\\2 & 2 & 0\end{array}\right]$$$
El espacio nulo de esta matriz es $$$\left\{\left[\begin{array}{c}1\\-1\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (para conocer los pasos, consulte calculadora de espacio nulo).
Este es el vector propio.
$$$\lambda = 0$$$
$$$\left[\begin{array}{ccc}2 - \lambda & 2 & 2\\2 & 6 - \lambda & 2\\2 & 2 & 2 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}2 & 2 & 2\\2 & 6 & 2\\2 & 2 & 2\end{array}\right]$$$
El espacio nulo de esta matriz es $$$\left\{\left[\begin{array}{c}-1\\0\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (para conocer los pasos, consulte calculadora de espacio nulo).
Este es el vector propio.
Respuesta
Valor propio: $$$8$$$A, multiplicidad: $$$1$$$A, vector propio: $$$\left[\begin{array}{c}1\\2\\1\end{array}\right]$$$A.
Valor propio: $$$2$$$A, multiplicidad: $$$1$$$A, vector propio: $$$\left[\begin{array}{c}1\\-1\\1\end{array}\right]$$$A.
Valor propio: $$$0$$$A, multiplicidad: $$$1$$$A, vector propio: $$$\left[\begin{array}{c}-1\\0\\1\end{array}\right]$$$A.