Autovalores e autovetores de $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{4}{5} & \frac{3}{10}\\\frac{1}{5} & \frac{7}{10}\end{array}\right]$$$
Calculadora relacionada: Calculadora de Polinômios Característicos
Sua entrada
Encontre os autovalores e autovetores de $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{4}{5} & \frac{3}{10}\\\frac{1}{5} & \frac{7}{10}\end{array}\right]$$$.
Solução
Comece formando uma nova matriz subtraindo $$$\lambda$$$ das entradas diagonais da matriz dada: $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{4}{5} - \lambda & \frac{3}{10}\\\frac{1}{5} & \frac{7}{10} - \lambda\end{array}\right]$$$.
O determinante da matriz obtida é $$$\frac{\left(\lambda - 1\right) \left(2 \lambda - 1\right)}{2}$$$ (para as etapas, consulte calculadora de determinantes).
Resolva a equação $$$\frac{\left(\lambda - 1\right) \left(2 \lambda - 1\right)}{2} = 0$$$.
As raízes são $$$\lambda_{1} = 1$$$, $$$\lambda_{2} = \frac{1}{2}$$$ (para ver as etapas, consulte solucionador de equações).
Esses são os autovalores.
Em seguida, encontre os autovetores.
$$$\lambda = 1$$$
$$$\left[\begin{array}{cc}\frac{4}{5} - \lambda & \frac{3}{10}\\\frac{1}{5} & \frac{7}{10} - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}- \frac{1}{5} & \frac{3}{10}\\\frac{1}{5} & - \frac{3}{10}\end{array}\right]$$$
O espaço nulo dessa matriz é $$$\left\{\left[\begin{array}{c}\frac{3}{2}\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (para conhecer as etapas, consulte calculadora de espaço nulo).
Este é o autovetor.
$$$\lambda = \frac{1}{2}$$$
$$$\left[\begin{array}{cc}\frac{4}{5} - \lambda & \frac{3}{10}\\\frac{1}{5} & \frac{7}{10} - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}\frac{3}{10} & \frac{3}{10}\\\frac{1}{5} & \frac{1}{5}\end{array}\right]$$$
O espaço nulo dessa matriz é $$$\left\{\left[\begin{array}{c}-1\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (para conhecer as etapas, consulte calculadora de espaço nulo).
Este é o autovetor.
Responder
Autovalor: $$$1$$$A, multiplicidade: $$$1$$$A, autovetor: $$$\left[\begin{array}{c}\frac{3}{2}\\1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}1.5\\1\end{array}\right]$$$A.
Autovalor: $$$\frac{1}{2} = 0.5$$$A, multiplicidade: $$$1$$$A, autovetor: $$$\left[\begin{array}{c}-1\\1\end{array}\right]$$$A.