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Curvatura de $$$\mathbf{\vec{r}\left(x\right)} = \left\langle x, x^{2}, 0\right\rangle$$$

A calculadora encontrará a curvatura de $$$\mathbf{\vec{r}\left(x\right)} = \left\langle x, x^{2}, 0\right\rangle$$$, com as etapas mostradas.

Calculadoras relacionadas: Calculadora de vetores binormais unitários, Calculadora de torção

$$$\langle$$$
,
,
$$$\rangle$$$
Se você tiver uma função explícita $$$y = f{\left(x \right)}$$$, insira-a como $$$x$$$, $$$f{\left(x \right)}$$$, $$$0$$$. Por exemplo, a curvatura de $$$y = x^{2}$$$ pode ser encontrada aqui.
Deixe em branco se não precisar da curvatura em um ponto específico.

Se a calculadora não calculou algo ou você identificou um erro, ou tem uma sugestão/comentário, escreva nos comentários abaixo.

Sua entrada

Encontre a curvatura de $$$\mathbf{\vec{r}\left(x\right)} = \left\langle x, x^{2}, 0\right\rangle$$$.

Solução

Encontre a derivada de $$$\mathbf{\vec{r}\left(x\right)}$$$: $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(x\right)} = \left\langle 1, 2 x, 0\right\rangle$$$ (para ver as etapas, consulte calculadora de derivadas).

Encontre a magnitude de $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(x\right)}$$$: $$$\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(x\right)}\right\rvert} = \sqrt{4 x^{2} + 1}$$$ (para passos, veja calculadora de magnitude).

Encontre a derivada de $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(x\right)}$$$: $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(x\right)} = \left\langle 0, 2, 0\right\rangle$$$ (para ver as etapas, consulte calculadora de derivadas).

Encontre o produto vetorial: $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(x\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(x\right)} = \left\langle 0, 0, 2\right\rangle$$$ (para ver as etapas, consulte calculadora de produto vetorial).

Encontre a magnitude de $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(x\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(x\right)}$$$: $$$\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(x\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(x\right)}\right\rvert} = 2$$$ (para passos, veja calculadora de magnitude).

Finalmente, a curvatura é $$$\kappa\left(x\right) = \frac{\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(x\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(x\right)}\right\rvert}}{\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(x\right)}\right\rvert}^{3}} = \frac{2}{\left(4 x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}.$$$

Responder

A curvatura é $$$\kappa\left(x\right) = \frac{2}{\left(4 x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}$$$A.