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Calculadora de Torção

Calcular a torção passo a passo

A calculadora determinará a torção da função vetorial dada no ponto especificado, com as etapas mostradas.

Calculadora relacionada: Calculadora de Curvatura

$$$\langle$$$
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$$$\rangle$$$
Deixe em branco se não precisar da torção em um ponto específico.

Se a calculadora não conseguiu calcular algo ou você identificou um erro, ou se tem uma sugestão/feedback, por favor entre em contato conosco.

Sua entrada

Encontre a torção de $$$\mathbf{\vec{r}\left(t\right)} = \left\langle t^{2}, t^{3}, t\right\rangle$$$.

Solução

Encontre a derivada de $$$\mathbf{\vec{r}\left(t\right)}$$$: $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)} = \left\langle 2 t, 3 t^{2}, 1\right\rangle$$$ (para os passos, veja calculadora de derivadas).

Encontre a derivada de $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}$$$: $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)} = \left\langle 2, 6 t, 0\right\rangle$$$ (para os passos, veja calculadora de derivadas).

Encontre o produto vetorial: $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)} = \left\langle - 6 t, 2, 6 t^{2}\right\rangle$$$ (para ver as etapas, consulte calculadora de produto vetorial).

Encontre o módulo de $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}$$$: $$$\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}\right\rvert} = 2 \sqrt{9 t^{4} + 9 t^{2} + 1}$$$ (para ver os passos, consulte calculadora de módulo).

Encontre a derivada de $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}$$$: $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime\prime\prime}\left(t\right)} = \left\langle 0, 6, 0\right\rangle$$$ (para os passos, veja calculadora de derivadas).

Calcule o produto escalar: $$$\left(\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}\right)\cdot \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime\prime}\left(t\right)} = 12$$$ (para ver as etapas, consulte calculadora de produto escalar).

Finalmente, a torção é $$$\tau\left(t\right) = \frac{\left(\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}\right)\cdot \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime\prime}\left(t\right)}}{\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}\right\rvert}^{2}} = \frac{3}{9 t^{4} + 9 t^{2} + 1}.$$$

Resposta

A torção é $$$\tau\left(t\right) = \frac{3}{9 t^{4} + 9 t^{2} + 1}$$$A.


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