Aproxime $$$\int\limits_{1}^{2} 30 \sin{\left(2 x \right)}\, dx$$$ com $$$n = 8$$$ usando a soma de Riemann

Aproxime a integral $$$\int\limits_{1}^{2} 30 \sin{\left(2 x \right)}\, dx$$$ com $$$n = 8$$$ usando a soma de Riemann à esquerda.

A soma de Riemann à esquerda (também conhecida como aproximação do ponto final esquerdo) usa o ponto final esquerdo de um subintervalo para calcular a altura do retângulo de aproximação:

$$$\int\limits_{a}^{b} f{\left(x \right)}\, dx\approx \Delta x \left(f{\left(x_{0} \right)} + f{\left(x_{1} \right)} + f{\left(x_{2} \right)}+\dots+f{\left(x_{n-2} \right)} + f{\left(x_{n-1} \right)}\right)$$$

onde $$$\Delta x = \frac{b - a}{n}$$$.

Temos que $$$f{\left(x \right)} = 30 \sin{\left(2 x \right)}$$$, $$$a = 1$$$, $$$b = 2$$$ e $$$n = 8$$$.

Portanto, $$$\Delta x = \frac{2 - 1}{8} = \frac{1}{8}$$$.

Divida o intervalo $$$\left[1, 2\right]$$$ em $$$n = 8$$$ subintervalos de comprimento $$$\Delta x = \frac{1}{8}$$$ com os seguintes pontos finais: $$$a = 1$$$, $$$\frac{9}{8}$$$, $$$\frac{5}{4}$$$, $$$\frac{11}{8}$$$, $$$\frac{3}{2}$$$, $$$\frac{13}{8}$$$, $$$\frac{7}{4}$$$, $$$\frac{15}{8}$$$, $$$2 = b$$$.

Agora, apenas avalie a função nas extremidades esquerdas dos subintervalos.

$$$f{\left(x_{0} \right)} = f{\left(1 \right)} = 30 \sin{\left(2 \right)}\approx 27.278922804770451$$$

$$$f{\left(x_{1} \right)} = f{\left(\frac{9}{8} \right)} = 30 \sin{\left(\frac{9}{4} \right)}\approx 23.342195906637637$$$

$$$f{\left(x_{2} \right)} = f{\left(\frac{5}{4} \right)} = 30 \sin{\left(\frac{5}{2} \right)}\approx 17.954164323118695$$$

$$$f{\left(x_{3} \right)} = f{\left(\frac{11}{8} \right)} = 30 \sin{\left(\frac{11}{4} \right)}\approx 11.449829761569951$$$

$$$f{\left(x_{4} \right)} = f{\left(\frac{3}{2} \right)} = 30 \sin{\left(3 \right)}\approx 4.233600241796017$$$

$$$f{\left(x_{5} \right)} = f{\left(\frac{13}{8} \right)} = 30 \sin{\left(\frac{13}{4} \right)}\approx -3.245854035903251$$$

$$$f{\left(x_{6} \right)} = f{\left(\frac{7}{4} \right)} = 30 \sin{\left(\frac{7}{2} \right)}\approx -10.523496830688595$$$

$$$f{\left(x_{7} \right)} = f{\left(\frac{15}{8} \right)} = 30 \sin{\left(\frac{15}{4} \right)}\approx -17.146839562270313$$$

Por fim, basta somar os valores acima e multiplicar por $$$\Delta x = \frac{1}{8}$$$: $$$\frac{1}{8} \left(27.278922804770451 + 23.342195906637637 + 17.954164323118695 + 11.449829761569951 + 4.233600241796017 - 3.245854035903251 - 10.523496830688595 - 17.146839562270313\right) = 6.667815326128824.$$$

$$$\int\limits_{1}^{2} 30 \sin{\left(2 x \right)}\, dx\approx 6.667815326128824$$$A