Calculadora de aproximação do endpoint esquerdo para uma função

Uma calculadora online para aproximar a integral definida usando os pontos finais à esquerda (a soma de Riemann à esquerda), com etapas mostradas.

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Aproxime a integral $$$\int\limits_{0}^{4} \sqrt{\cos^{4}{\left(x \right)} + 2}\, dx$$$ com $$$n = 5$$$ usando a aproximação do ponto final esquerdo.

Solução

A left Riemann sum (também conhecida como aproximação do ponto final esquerdo) usa o ponto final esquerdo de um subintervalo para calcular a altura do retângulo de aproximação:

$$$\int\limits_{a}^{b} f{\left(x \right)}\, dx\approx \Delta x \left(f{\left(x_{0} \right)} + f{\left(x_{1} \right)} + f{\left(x_{2} \right)}+\dots+f{\left(x_{n-2} \right)} + f{\left(x_{n-1} \right)}\right)$$$

onde $$$\Delta x = \frac{b - a}{n}$$$.

Temos aquele $$$f{\left(x \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(x \right)} + 2}$$$, $$$a = 0$$$, $$$b = 4$$$ e $$$n = 5$$$.

Portanto, $$$\Delta x = \frac{4 - 0}{5} = \frac{4}{5}$$$.

Divida o intervalo de $$$\left[0, 4\right]$$$ em $$$n = 5$$$ subintervalos de comprimento $$$\Delta x = \frac{4}{5}$$$ com os seguintes pontos de extremidade: $$$a = 0$$$, $$$\frac{4}{5}$$$, $$$\frac{8}{5}$$$, $$$\frac{12}{5}$$$, $$$\frac{16}{5}$$$, $$$4 = b$$$.

Agora, apenas avalie a função nas extremidades esquerdas dos subintervalos.

$$$f{\left(x_{0} \right)} = f{\left(0 \right)} = \sqrt{3}\approx 1.732050807568877$$$

$$$f{\left(x_{1} \right)} = f{\left(\frac{4}{5} \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(\frac{4}{5} \right)} + 2}\approx 1.495196773630485$$$

$$$f{\left(x_{2} \right)} = f{\left(\frac{8}{5} \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(\frac{8}{5} \right)} + 2}\approx 1.414213819387789$$$

$$$f{\left(x_{3} \right)} = f{\left(\frac{12}{5} \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(\frac{12}{5} \right)} + 2}\approx 1.515144715776502$$$

$$$f{\left(x_{4} \right)} = f{\left(\frac{16}{5} \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(\frac{16}{5} \right)} + 2}\approx 1.730085700215823$$$

Finalmente, basta somar os valores acima e multiplicar por $$$\Delta x = \frac{4}{5}$$$: $$$\frac{4}{5} \left(1.732050807568877 + 1.495196773630485 + 1.414213819387789 + 1.515144715776502 + 1.730085700215823\right) = 6.309353453263581.$$$

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$$$\int\limits_{0}^{4} \sqrt{\cos^{4}{\left(x \right)} + 2}\, dx\approx 6.309353453263581$$$A