Calculadora de aproximación del punto final izquierdo para una función

Una calculadora en línea para aproximar la integral definida utilizando los puntos finales de la izquierda (la suma de Riemann izquierda), con los pasos que se muestran.

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Tu aportación

Aproxime la integral $$$\int\limits_{0}^{4} \sqrt{\cos^{4}{\left(x \right)} + 2}\, dx$$$ con $$$n = 5$$$ usando la aproximación del extremo izquierdo.

Solución

La suma de Riemann izquierda (también conocida como la aproximación del punto final izquierdo) utiliza el punto final izquierdo de un subintervalo para calcular la altura del rectángulo de aproximación:

$$$\int\limits_{a}^{b} f{\left(x \right)}\, dx\approx \Delta x \left(f{\left(x_{0} \right)} + f{\left(x_{1} \right)} + f{\left(x_{2} \right)}+\dots+f{\left(x_{n-2} \right)} + f{\left(x_{n-1} \right)}\right)$$$

donde la $$$\Delta x = \frac{b - a}{n}$$$.

Tenemos eso $$$f{\left(x \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(x \right)} + 2}$$$, $$$a = 0$$$, $$$b = 4$$$ $$$n = 5$$$.

Por tanto, $$$\Delta x = \frac{4 - 0}{5} = \frac{4}{5}$$$.

Divida el intervalo de $$$\left[0, 4\right]$$$ en $$$n = 5$$$ subintervalos de la longitud $$$\Delta x = \frac{4}{5}$$$ con los siguientes puntos finales: $$$a = 0$$$, $$$\frac{4}{5}$$$, $$$\frac{8}{5}$$$, $$$\frac{12}{5}$$$, $$$\frac{16}{5}$$$, $$$4 = b$$$.

Ahora, simplemente evalúe la función en los extremos izquierdos de los subintervalos.

$$$f{\left(x_{0} \right)} = f{\left(0 \right)} = \sqrt{3}\approx 1.732050807568877$$$

$$$f{\left(x_{1} \right)} = f{\left(\frac{4}{5} \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(\frac{4}{5} \right)} + 2}\approx 1.495196773630485$$$

$$$f{\left(x_{2} \right)} = f{\left(\frac{8}{5} \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(\frac{8}{5} \right)} + 2}\approx 1.414213819387789$$$

$$$f{\left(x_{3} \right)} = f{\left(\frac{12}{5} \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(\frac{12}{5} \right)} + 2}\approx 1.515144715776502$$$

$$$f{\left(x_{4} \right)} = f{\left(\frac{16}{5} \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(\frac{16}{5} \right)} + 2}\approx 1.730085700215823$$$

$$$\Delta x = \frac{4}{5}$$$ valores anteriores y multiplíquelos por delta_x: $$$\frac{4}{5} \left(1.732050807568877 + 1.495196773630485 + 1.414213819387789 + 1.515144715776502 + 1.730085700215823\right) = 6.309353453263581.$$$

Respuesta

$$$\int\limits_{0}^{4} \sqrt{\cos^{4}{\left(x \right)} + 2}\, dx\approx 6.309353453263581$$$A