Calculadora de aproximación por el extremo izquierdo para una función
Aproximar una integral (definida por una función) utilizando los extremos izquierdos paso a paso
Una calculadora en línea para aproximar la integral definida usando los extremos izquierdos (suma de Riemann por la izquierda), mostrando los pasos.
Calculadora relacionada: Calculadora de aproximación por el extremo izquierdo para una tabla
Tu entrada
Aproxime la integral $$$\int\limits_{0}^{4} \sqrt{\cos^{4}{\left(x \right)} + 2}\, dx$$$ con $$$n = 5$$$ utilizando la aproximación por el extremo izquierdo.
Solución
La suma de Riemann izquierda (también conocida como la aproximación por el extremo izquierdo) utiliza el extremo izquierdo de un subintervalo para calcular la altura del rectángulo aproximante:
$$$\int\limits_{a}^{b} f{\left(x \right)}\, dx\approx \Delta x \left(f{\left(x_{0} \right)} + f{\left(x_{1} \right)} + f{\left(x_{2} \right)}+\dots+f{\left(x_{n-2} \right)} + f{\left(x_{n-1} \right)}\right)$$$
donde $$$\Delta x = \frac{b - a}{n}$$$.
Tenemos que $$$f{\left(x \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(x \right)} + 2}$$$, $$$a = 0$$$, $$$b = 4$$$ y $$$n = 5$$$.
Por lo tanto, $$$\Delta x = \frac{4 - 0}{5} = \frac{4}{5}$$$.
Divide el intervalo $$$\left[0, 4\right]$$$ en $$$n = 5$$$ subintervalos de longitud $$$\Delta x = \frac{4}{5}$$$ con los siguientes extremos: $$$a = 0$$$, $$$\frac{4}{5}$$$, $$$\frac{8}{5}$$$, $$$\frac{12}{5}$$$, $$$\frac{16}{5}$$$, $$$4 = b$$$.
Ahora, simplemente evalúa la función en los extremos izquierdos de los subintervalos.
$$$f{\left(x_{0} \right)} = f{\left(0 \right)} = \sqrt{3}\approx 1.732050807568877$$$
$$$f{\left(x_{1} \right)} = f{\left(\frac{4}{5} \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(\frac{4}{5} \right)} + 2}\approx 1.495196773630485$$$
$$$f{\left(x_{2} \right)} = f{\left(\frac{8}{5} \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(\frac{8}{5} \right)} + 2}\approx 1.414213819387789$$$
$$$f{\left(x_{3} \right)} = f{\left(\frac{12}{5} \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(\frac{12}{5} \right)} + 2}\approx 1.515144715776502$$$
$$$f{\left(x_{4} \right)} = f{\left(\frac{16}{5} \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(\frac{16}{5} \right)} + 2}\approx 1.730085700215823$$$
Finalmente, simplemente suma los valores anteriores y multiplica el resultado por $$$\Delta x = \frac{4}{5}$$$: $$$\frac{4}{5} \left(1.732050807568877 + 1.495196773630485 + 1.414213819387789 + 1.515144715776502 + 1.730085700215823\right) = 6.309353453263581.$$$
Respuesta
$$$\int\limits_{0}^{4} \sqrt{\cos^{4}{\left(x \right)} + 2}\, dx\approx 6.309353453263581$$$A