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Calculadora de aproximación del extremo izquierdo de una función
Aproximar una integral (dada por una función) usando los extremos izquierdos paso a paso
Una calculadora en línea para aproximar la integral definida usando los extremos izquierdos (la suma de Riemann izquierda), con pasos mostrados.
Calculadora relacionada: Calculadora de aproximación del punto final izquierdo para una tabla
Tu aportación
Aproxime la integral $$$\int\limits_{0}^{4} \sqrt{\cos^{4}{\left(x \right)} + 2}\, dx$$$ con $$$n = 5$$$ usando la aproximación del extremo izquierdo.
Solución
La suma de Riemann izquierda (también conocida como la aproximación del punto final izquierdo) utiliza el punto final izquierdo de un subintervalo para calcular la altura del rectángulo de aproximación:
$$$\int\limits_{a}^{b} f{\left(x \right)}\, dx\approx \Delta x \left(f{\left(x_{0} \right)} + f{\left(x_{1} \right)} + f{\left(x_{2} \right)}+\dots+f{\left(x_{n-2} \right)} + f{\left(x_{n-1} \right)}\right)$$$
donde $$$\Delta x = \frac{b - a}{n}$$$.
Tenemos que $$$f{\left(x \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(x \right)} + 2}$$$, $$$a = 0$$$, $$$b = 4$$$ y $$$n = 5$$$.
Por lo tanto, $$$\Delta x = \frac{4 - 0}{5} = \frac{4}{5}$$$.
Divida el intervalo $$$\left[0, 4\right]$$$ en $$$n = 5$$$ subintervalos de longitud $$$\Delta x = \frac{4}{5}$$$ con los siguientes puntos finales: $$$a = 0$$$, $$$\frac{4}{5}$$$, $$$\frac{8}{5}$$$, $$$\frac{12}{5}$$$, $$$\frac{16}{5}$$$, $$$4 = b$$$.
Ahora, simplemente evalúe la función en los extremos izquierdos de los subintervalos.
$$$f{\left(x_{0} \right)} = f{\left(0 \right)} = \sqrt{3}\approx 1.732050807568877$$$
$$$f{\left(x_{1} \right)} = f{\left(\frac{4}{5} \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(\frac{4}{5} \right)} + 2}\approx 1.495196773630485$$$
$$$f{\left(x_{2} \right)} = f{\left(\frac{8}{5} \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(\frac{8}{5} \right)} + 2}\approx 1.414213819387789$$$
$$$f{\left(x_{3} \right)} = f{\left(\frac{12}{5} \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(\frac{12}{5} \right)} + 2}\approx 1.515144715776502$$$
$$$f{\left(x_{4} \right)} = f{\left(\frac{16}{5} \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(\frac{16}{5} \right)} + 2}\approx 1.730085700215823$$$
Finalmente, simplemente sume los valores anteriores y multiplíquelos por $$$\Delta x = \frac{4}{5}$$$: $$$\frac{4}{5} \left(1.732050807568877 + 1.495196773630485 + 1.414213819387789 + 1.515144715776502 + 1.730085700215823\right) = 6.309353453263581.$$$
Respuesta
$$$\int\limits_{0}^{4} \sqrt{\cos^{4}{\left(x \right)} + 2}\, dx\approx 6.309353453263581$$$A