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Integral de $$$\frac{d}{x} - 6 x - 7$$$ em relação a $$$x$$$
Calculadora relacionada: Calculadora de Integrais Definidas e Impróprias
Sua entrada
Encontre $$$\int \left(\frac{d}{x} - 6 x - 7\right)\, dx$$$.
Solução
Integre termo a termo:
$${\color{red}{\int{\left(\frac{d}{x} - 6 x - 7\right)d x}}} = {\color{red}{\left(- \int{7 d x} - \int{6 x d x} + \int{\frac{d}{x} d x}\right)}}$$
Aplique a regra da constante $$$\int c\, dx = c x$$$ usando $$$c=7$$$:
$$- \int{6 x d x} + \int{\frac{d}{x} d x} - {\color{red}{\int{7 d x}}} = - \int{6 x d x} + \int{\frac{d}{x} d x} - {\color{red}{\left(7 x\right)}}$$
Aplique a regra do múltiplo constante $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ usando $$$c=6$$$ e $$$f{\left(x \right)} = x$$$:
$$- 7 x + \int{\frac{d}{x} d x} - {\color{red}{\int{6 x d x}}} = - 7 x + \int{\frac{d}{x} d x} - {\color{red}{\left(6 \int{x d x}\right)}}$$
Aplique a regra da potência $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ com $$$n=1$$$:
$$- 7 x + \int{\frac{d}{x} d x} - 6 {\color{red}{\int{x d x}}}=- 7 x + \int{\frac{d}{x} d x} - 6 {\color{red}{\frac{x^{1 + 1}}{1 + 1}}}=- 7 x + \int{\frac{d}{x} d x} - 6 {\color{red}{\left(\frac{x^{2}}{2}\right)}}$$
Aplique a regra do múltiplo constante $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ usando $$$c=d$$$ e $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$$$:
$$- 3 x^{2} - 7 x + {\color{red}{\int{\frac{d}{x} d x}}} = - 3 x^{2} - 7 x + {\color{red}{d \int{\frac{1}{x} d x}}}$$
A integral de $$$\frac{1}{x}$$$ é $$$\int{\frac{1}{x} d x} = \ln{\left(\left|{x}\right| \right)}$$$:
$$d {\color{red}{\int{\frac{1}{x} d x}}} - 3 x^{2} - 7 x = d {\color{red}{\ln{\left(\left|{x}\right| \right)}}} - 3 x^{2} - 7 x$$
Portanto,
$$\int{\left(\frac{d}{x} - 6 x - 7\right)d x} = d \ln{\left(\left|{x}\right| \right)} - 3 x^{2} - 7 x$$
Adicione a constante de integração:
$$\int{\left(\frac{d}{x} - 6 x - 7\right)d x} = d \ln{\left(\left|{x}\right| \right)} - 3 x^{2} - 7 x+C$$
Resposta
$$$\int \left(\frac{d}{x} - 6 x - 7\right)\, dx = \left(d \ln\left(\left|{x}\right|\right) - 3 x^{2} - 7 x\right) + C$$$A