Derivada implícita de $$$x^{2} y^{2} = 2 x + e^{y}$$$ em relação a $$$x$$$

Derive separadamente ambos os lados da equação (considere $$$y$$$ como uma função de $$$x$$$): $$$\frac{d}{dx} \left(x^{2} y^{2}{\left(x \right)}\right) = \frac{d}{dx} \left(2 x + e^{y{\left(x \right)}}\right)$$$.

Diferencie o membro esquerdo da equação.

Aplique a regra do produto $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)} g{\left(x \right)}\right) = \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right) g{\left(x \right)} + f{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$ com $$$f{\left(x \right)} = x^{2}$$$ e $$$g{\left(x \right)} = y^{2}{\left(x \right)}$$$:

$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x^{2} y^{2}{\left(x \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x^{2}\right) y^{2}{\left(x \right)} + x^{2} \frac{d}{dx} \left(y^{2}{\left(x \right)}\right)\right)}$$

A função $$$y^{2}{\left(x \right)}$$$ é a composição $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ de duas funções $$$f{\left(u \right)} = u^{2}$$$ e $$$g{\left(x \right)} = y{\left(x \right)}$$$.

Aplique a regra da cadeia $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:

$$x^{2} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(y^{2}{\left(x \right)}\right)\right)} + y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(x^{2}\right) = x^{2} {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(u^{2}\right) \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right)\right)} + y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(x^{2}\right)$$

Aplique a regra da potência $$$\frac{d}{du} \left(u^{n}\right) = n u^{n - 1}$$$ com $$$n = 2$$$:

$$x^{2} {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(u^{2}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) + y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(x^{2}\right) = x^{2} {\color{red}\left(2 u\right)} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) + y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(x^{2}\right)$$

Retorne à variável original:

$$2 x^{2} {\color{red}\left(u\right)} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) + y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(x^{2}\right) = 2 x^{2} {\color{red}\left(y{\left(x \right)}\right)} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) + y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(x^{2}\right)$$

Aplique a regra da potência $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ com $$$n = 2$$$:

$$2 x^{2} y{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) + y^{2}{\left(x \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x^{2}\right)\right)} = 2 x^{2} y{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) + y^{2}{\left(x \right)} {\color{red}\left(2 x\right)}$$

Simplifique:

$$2 x^{2} y{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) + 2 x y^{2}{\left(x \right)} = 2 x \left(x \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) + y{\left(x \right)}\right) y{\left(x \right)}$$

Logo, $$$\frac{d}{dx} \left(x^{2} y^{2}{\left(x \right)}\right) = 2 x \left(x \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) + y{\left(x \right)}\right) y{\left(x \right)}$$$.

Derive o membro direito da equação.

A derivada de uma soma/diferença é a soma/diferença das derivadas:

$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(2 x + e^{y{\left(x \right)}}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(2 x\right) + \frac{d}{dx} \left(e^{y{\left(x \right)}}\right)\right)}$$

A função $$$e^{y{\left(x \right)}}$$$ é a composição $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ de duas funções $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ e $$$g{\left(x \right)} = y{\left(x \right)}$$$.

Aplique a regra da cadeia $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:

$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(e^{y{\left(x \right)}}\right)\right)} + \frac{d}{dx} \left(2 x\right) = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right)\right)} + \frac{d}{dx} \left(2 x\right)$$

A derivada da função exponencial é $$$\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) = e^{u}$$$:

$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) + \frac{d}{dx} \left(2 x\right) = {\color{red}\left(e^{u}\right)} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) + \frac{d}{dx} \left(2 x\right)$$

Retorne à variável original:

$$e^{{\color{red}\left(u\right)}} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) + \frac{d}{dx} \left(2 x\right) = e^{{\color{red}\left(y{\left(x \right)}\right)}} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) + \frac{d}{dx} \left(2 x\right)$$

Aplique a regra da constante multiplicativa $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ com $$$c = 2$$$ e $$$f{\left(x \right)} = x$$$:

$$e^{y{\left(x \right)}} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) + {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(2 x\right)\right)} = e^{y{\left(x \right)}} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) + {\color{red}\left(2 \frac{d}{dx} \left(x\right)\right)}$$

Aplique a regra da potência $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ com $$$n = 1$$$, em outras palavras, $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:

$$e^{y{\left(x \right)}} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) + 2 {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} = e^{y{\left(x \right)}} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) + 2 {\color{red}\left(1\right)}$$

Logo, $$$\frac{d}{dx} \left(2 x + e^{y{\left(x \right)}}\right) = e^{y{\left(x \right)}} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) + 2$$$.

Portanto, obtivemos a seguinte equação linear em relação à derivada: $$$2 x y \left(x \frac{dy}{dx} + y\right) = e^{y} \frac{dy}{dx} + 2$$$.

Ao resolver, obtemos que $$$\frac{dy}{dx} = \frac{- 2 x y^{2} + 2}{2 x^{2} y - e^{y}}$$$.