Έμμεση παράγωγος της $$$x^{2} y^{2} = 2 x + e^{y}$$$ ως προς $$$x$$$

Παραγώγισε χωριστά και τα δύο μέλη της εξίσωσης (θεώρησε την $$$y$$$ ως συνάρτηση της $$$x$$$): $$$\frac{d}{dx} \left(x^{2} y^{2}{\left(x \right)}\right) = \frac{d}{dx} \left(2 x + e^{y{\left(x \right)}}\right)$$$.

Υπολογίστε την παράγωγο του αριστερού μέλους της εξίσωσης.

Εφαρμόστε τον κανόνα του γινομένου $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)} g{\left(x \right)}\right) = \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right) g{\left(x \right)} + f{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$ με $$$f{\left(x \right)} = x^{2}$$$ και $$$g{\left(x \right)} = y^{2}{\left(x \right)}$$$:

$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x^{2} y^{2}{\left(x \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x^{2}\right) y^{2}{\left(x \right)} + x^{2} \frac{d}{dx} \left(y^{2}{\left(x \right)}\right)\right)}$$

Η συνάρτηση $$$y^{2}{\left(x \right)}$$$ είναι η σύνθεση $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ των δύο συναρτήσεων $$$f{\left(u \right)} = u^{2}$$$ και $$$g{\left(x \right)} = y{\left(x \right)}$$$.

Εφαρμόστε τον κανόνα της αλυσίδας $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:

$$x^{2} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(y^{2}{\left(x \right)}\right)\right)} + y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(x^{2}\right) = x^{2} {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(u^{2}\right) \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right)\right)} + y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(x^{2}\right)$$

Εφαρμόστε τον κανόνα της δύναμης $$$\frac{d}{du} \left(u^{n}\right) = n u^{n - 1}$$$ με $$$n = 2$$$:

$$x^{2} {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(u^{2}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) + y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(x^{2}\right) = x^{2} {\color{red}\left(2 u\right)} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) + y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(x^{2}\right)$$

Επιστροφή στην αρχική μεταβλητή:

$$2 x^{2} {\color{red}\left(u\right)} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) + y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(x^{2}\right) = 2 x^{2} {\color{red}\left(y{\left(x \right)}\right)} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) + y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(x^{2}\right)$$

Εφαρμόστε τον κανόνα της δύναμης $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ με $$$n = 2$$$:

$$2 x^{2} y{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) + y^{2}{\left(x \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x^{2}\right)\right)} = 2 x^{2} y{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) + y^{2}{\left(x \right)} {\color{red}\left(2 x\right)}$$

Απλοποιήστε:

$$2 x^{2} y{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) + 2 x y^{2}{\left(x \right)} = 2 x \left(x \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) + y{\left(x \right)}\right) y{\left(x \right)}$$

Άρα, $$$\frac{d}{dx} \left(x^{2} y^{2}{\left(x \right)}\right) = 2 x \left(x \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) + y{\left(x \right)}\right) y{\left(x \right)}$$$.

Παραγώγισε το δεξί μέλος της εξίσωσης.

Η παράγωγος του αθροίσματος/της διαφοράς είναι το άθροισμα/η διαφορά των παραγώγων:

$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(2 x + e^{y{\left(x \right)}}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(2 x\right) + \frac{d}{dx} \left(e^{y{\left(x \right)}}\right)\right)}$$

Η συνάρτηση $$$e^{y{\left(x \right)}}$$$ είναι η σύνθεση $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ των δύο συναρτήσεων $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ και $$$g{\left(x \right)} = y{\left(x \right)}$$$.

Εφαρμόστε τον κανόνα της αλυσίδας $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:

$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(e^{y{\left(x \right)}}\right)\right)} + \frac{d}{dx} \left(2 x\right) = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right)\right)} + \frac{d}{dx} \left(2 x\right)$$

Η παράγωγος της εκθετικής συνάρτησης είναι $$$\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) = e^{u}$$$:

$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) + \frac{d}{dx} \left(2 x\right) = {\color{red}\left(e^{u}\right)} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) + \frac{d}{dx} \left(2 x\right)$$

Επιστροφή στην αρχική μεταβλητή:

$$e^{{\color{red}\left(u\right)}} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) + \frac{d}{dx} \left(2 x\right) = e^{{\color{red}\left(y{\left(x \right)}\right)}} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) + \frac{d}{dx} \left(2 x\right)$$

Εφαρμόστε τον κανόνα του σταθερού πολλαπλασιαστή $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ με $$$c = 2$$$ και $$$f{\left(x \right)} = x$$$:

$$e^{y{\left(x \right)}} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) + {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(2 x\right)\right)} = e^{y{\left(x \right)}} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) + {\color{red}\left(2 \frac{d}{dx} \left(x\right)\right)}$$

Εφαρμόστε τον κανόνα δύναμης $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ με $$$n = 1$$$, δηλαδή $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:

$$e^{y{\left(x \right)}} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) + 2 {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} = e^{y{\left(x \right)}} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) + 2 {\color{red}\left(1\right)}$$

Άρα, $$$\frac{d}{dx} \left(2 x + e^{y{\left(x \right)}}\right) = e^{y{\left(x \right)}} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) + 2$$$.

Επομένως, καταλήξαμε στην ακόλουθη γραμμική εξίσωση ως προς την παράγωγο: $$$2 x y \left(x \frac{dy}{dx} + y\right) = e^{y} \frac{dy}{dx} + 2$$$.

Λύνοντάς το, λαμβάνουμε ότι $$$\frac{dy}{dx} = \frac{- 2 x y^{2} + 2}{2 x^{2} y - e^{y}}$$$.