Integraal van $$$e^{4 x}$$$

Bepaal $$$\int e^{4 x}\, dx$$$.

Zij $$$u=4 x$$$.

Dan $$$du=\left(4 x\right)^{\prime }dx = 4 dx$$$ (de stappen zijn te zien »), en dan geldt dat $$$dx = \frac{du}{4}$$$.

Dus,

$${\color{red}{\int{e^{4 x} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{4} d u}}}$$

Pas de constante-veelvoudregel $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ toe met $$$c=\frac{1}{4}$$$ en $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{4} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{e^{u} d u}}{4}\right)}}$$

De integraal van de exponentiële functie is $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$\frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{4} = \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{4}$$

We herinneren eraan dat $$$u=4 x$$$:

$$\frac{e^{{\color{red}{u}}}}{4} = \frac{e^{{\color{red}{\left(4 x\right)}}}}{4}$$

Dus,

$$\int{e^{4 x} d x} = \frac{e^{4 x}}{4}$$

Voeg de integratieconstante toe:

$$\int{e^{4 x} d x} = \frac{e^{4 x}}{4}+C$$

$$$\int e^{4 x}\, dx = \frac{e^{4 x}}{4} + C$$$A