Afgeleide van $$$t \left(t - 1\right)$$$
Gerelateerde rekenmachines: Rekenmachine voor logaritmisch differentiëren, Rekenmachine voor impliciete differentiatie met stappen
Uw invoer
Bepaal $$$\frac{d}{dt} \left(t \left(t - 1\right)\right)$$$.
Oplossing
Pas de productregel $$$\frac{d}{dt} \left(f{\left(t \right)} g{\left(t \right)}\right) = \frac{d}{dt} \left(f{\left(t \right)}\right) g{\left(t \right)} + f{\left(t \right)} \frac{d}{dt} \left(g{\left(t \right)}\right)$$$ toe op $$$f{\left(t \right)} = t$$$ en $$$g{\left(t \right)} = t - 1$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dt} \left(t \left(t - 1\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{dt} \left(t\right) \left(t - 1\right) + t \frac{d}{dt} \left(t - 1\right)\right)}$$Pas de machtsregel $$$\frac{d}{dt} \left(t^{n}\right) = n t^{n - 1}$$$ toe met $$$n = 1$$$, met andere woorden, $$$\frac{d}{dt} \left(t\right) = 1$$$:
$$t \frac{d}{dt} \left(t - 1\right) + \left(t - 1\right) {\color{red}\left(\frac{d}{dt} \left(t\right)\right)} = t \frac{d}{dt} \left(t - 1\right) + \left(t - 1\right) {\color{red}\left(1\right)}$$De afgeleide van een som/verschil is de som/het verschil van de afgeleiden:
$$t {\color{red}\left(\frac{d}{dt} \left(t - 1\right)\right)} + t - 1 = t {\color{red}\left(\frac{d}{dt} \left(t\right) - \frac{d}{dt} \left(1\right)\right)} + t - 1$$De afgeleide van een constante is $$$0$$$:
$$t \left(- {\color{red}\left(\frac{d}{dt} \left(1\right)\right)} + \frac{d}{dt} \left(t\right)\right) + t - 1 = t \left(- {\color{red}\left(0\right)} + \frac{d}{dt} \left(t\right)\right) + t - 1$$Pas de machtsregel $$$\frac{d}{dt} \left(t^{n}\right) = n t^{n - 1}$$$ toe met $$$n = 1$$$, met andere woorden, $$$\frac{d}{dt} \left(t\right) = 1$$$:
$$t {\color{red}\left(\frac{d}{dt} \left(t\right)\right)} + t - 1 = t {\color{red}\left(1\right)} + t - 1$$Dus, $$$\frac{d}{dt} \left(t \left(t - 1\right)\right) = 2 t - 1$$$.
Antwoord
$$$\frac{d}{dt} \left(t \left(t - 1\right)\right) = 2 t - 1$$$A