Afgeleide van $$$\sqrt{x - 1}$$$

De functie $$$\sqrt{x - 1}$$$ is de samenstelling $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ van twee functies $$$f{\left(u \right)} = \sqrt{u}$$$ en $$$g{\left(x \right)} = x - 1$$$.

Pas de kettingregel $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$ toe:

$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\sqrt{x - 1}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sqrt{u}\right) \frac{d}{dx} \left(x - 1\right)\right)}$$

Pas de machtsregel $$$\frac{d}{du} \left(u^{n}\right) = n u^{n - 1}$$$ toe met $$$n = \frac{1}{2}$$$:

$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sqrt{u}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(x - 1\right) = {\color{red}\left(\frac{1}{2 \sqrt{u}}\right)} \frac{d}{dx} \left(x - 1\right)$$

Keer terug naar de oorspronkelijke variabele:

$$\frac{\frac{d}{dx} \left(x - 1\right)}{2 \sqrt{{\color{red}\left(u\right)}}} = \frac{\frac{d}{dx} \left(x - 1\right)}{2 \sqrt{{\color{red}\left(x - 1\right)}}}$$

De afgeleide van een som/verschil is de som/het verschil van de afgeleiden:

$$\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x - 1\right)\right)}}{2 \sqrt{x - 1}} = \frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right) - \frac{d}{dx} \left(1\right)\right)}}{2 \sqrt{x - 1}}$$

De afgeleide van een constante is $$$0$$$:

$$\frac{- {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(1\right)\right)} + \frac{d}{dx} \left(x\right)}{2 \sqrt{x - 1}} = \frac{- {\color{red}\left(0\right)} + \frac{d}{dx} \left(x\right)}{2 \sqrt{x - 1}}$$

Pas de machtsregel $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ toe met $$$n = 1$$$, met andere woorden, $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:

$$\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)}}{2 \sqrt{x - 1}} = \frac{{\color{red}\left(1\right)}}{2 \sqrt{x - 1}}$$

Dus, $$$\frac{d}{dx} \left(\sqrt{x - 1}\right) = \frac{1}{2 \sqrt{x - 1}}$$$.