|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Afgeleide van $$$e^{x y z}$$$ naar $$$z$$$
Gerelateerde rekenmachines: Rekenmachine voor logaritmisch differentiëren, Rekenmachine voor impliciete differentiatie met stappen
Uw invoer
Bepaal $$$\frac{d}{dz} \left(e^{x y z}\right)$$$.
Oplossing
De functie $$$e^{x y z}$$$ is de samenstelling $$$f{\left(g{\left(z \right)} \right)}$$$ van twee functies $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ en $$$g{\left(z \right)} = x y z$$$.
Pas de kettingregel $$$\frac{d}{dz} \left(f{\left(g{\left(z \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dz} \left(g{\left(z \right)}\right)$$$ toe:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dz} \left(e^{x y z}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) \frac{d}{dz} \left(x y z\right)\right)}$$De afgeleide van de exponentiële functie is $$$\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) = e^{u}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right)\right)} \frac{d}{dz} \left(x y z\right) = {\color{red}\left(e^{u}\right)} \frac{d}{dz} \left(x y z\right)$$Keer terug naar de oorspronkelijke variabele:
$$e^{{\color{red}\left(u\right)}} \frac{d}{dz} \left(x y z\right) = e^{{\color{red}\left(x y z\right)}} \frac{d}{dz} \left(x y z\right)$$Pas de regel van de constante factor $$$\frac{d}{dz} \left(c f{\left(z \right)}\right) = c \frac{d}{dz} \left(f{\left(z \right)}\right)$$$ toe met $$$c = x y$$$ en $$$f{\left(z \right)} = z$$$:
$$e^{x y z} {\color{red}\left(\frac{d}{dz} \left(x y z\right)\right)} = e^{x y z} {\color{red}\left(x y \frac{d}{dz} \left(z\right)\right)}$$Pas de machtsregel $$$\frac{d}{dz} \left(z^{n}\right) = n z^{n - 1}$$$ toe met $$$n = 1$$$, met andere woorden, $$$\frac{d}{dz} \left(z\right) = 1$$$:
$$x y e^{x y z} {\color{red}\left(\frac{d}{dz} \left(z\right)\right)} = x y e^{x y z} {\color{red}\left(1\right)}$$Dus, $$$\frac{d}{dz} \left(e^{x y z}\right) = x y e^{x y z}$$$.
Antwoord
$$$\frac{d}{dz} \left(e^{x y z}\right) = x y e^{x y z}$$$A