함수를 위한 사다리꼴 구적법 계산기
사다리꼴 공식을 사용하여 함수로 주어진 적분을 단계별로 근사하기
사용자 입력
사다리꼴 공식을 사용하여 $$$n = 5$$$으로 적분 $$$\int\limits_{0}^{1} \sqrt{\sin^{3}{\left(x \right)} + 1}\, dx$$$의 값을 근사하시오.
풀이
trapezoidal rule은 사다리꼴을 사용하여 면적을 근사합니다:
$$$\int\limits_{a}^{b} f{\left(x \right)}\, dx\approx \frac{\Delta x}{2} \left(f{\left(x_{0} \right)} + 2 f{\left(x_{1} \right)} + 2 f{\left(x_{2} \right)} + 2 f{\left(x_{3} \right)}+\dots+2 f{\left(x_{n-2} \right)} + 2 f{\left(x_{n-1} \right)} + f{\left(x_{n} \right)}\right)$$$
여기서 $$$\Delta x = \frac{b - a}{n}$$$.
다음이 성립한다: $$$f{\left(x \right)} = \sqrt{\sin^{3}{\left(x \right)} + 1}$$$, $$$a = 0$$$, $$$b = 1$$$, 및 $$$n = 5$$$.
따라서 $$$\Delta x = \frac{1 - 0}{5} = \frac{1}{5}$$$.
구간 $$$\left[0, 1\right]$$$을 길이가 $$$\Delta x = \frac{1}{5}$$$인 $$$n = 5$$$개의 부분구간으로 나누되, 끝점은 다음과 같다: $$$a = 0$$$, $$$\frac{1}{5}$$$, $$$\frac{2}{5}$$$, $$$\frac{3}{5}$$$, $$$\frac{4}{5}$$$, $$$1 = b$$$.
이제 이 끝점들에서 함수값만 계산하면 됩니다.
$$$f{\left(x_{0} \right)} = f{\left(0 \right)} = 1$$$
$$$2 f{\left(x_{1} \right)} = 2 f{\left(\frac{1}{5} \right)} = 2 \sqrt{\sin^{3}{\left(\frac{1}{5} \right)} + 1}\approx 2.007826067912793$$$
$$$2 f{\left(x_{2} \right)} = 2 f{\left(\frac{2}{5} \right)} = 2 \sqrt{\sin^{3}{\left(\frac{2}{5} \right)} + 1}\approx 2.058206972332648$$$
$$$2 f{\left(x_{3} \right)} = 2 f{\left(\frac{3}{5} \right)} = 2 \sqrt{\sin^{3}{\left(\frac{3}{5} \right)} + 1}\approx 2.17257446116512$$$
$$$2 f{\left(x_{4} \right)} = 2 f{\left(\frac{4}{5} \right)} = 2 \sqrt{\sin^{3}{\left(\frac{4}{5} \right)} + 1}\approx 2.340214753424868$$$
$$$f{\left(x_{5} \right)} = f{\left(1 \right)} = \sqrt{\sin^{3}{\left(1 \right)} + 1}\approx 1.263258974474734$$$
마지막으로 위의 값들을 모두 더한 다음 $$$\frac{\Delta x}{2} = \frac{1}{10}$$$를 곱합니다: $$$\frac{1}{10} \left(1 + 2.007826067912793 + 2.058206972332648 + 2.17257446116512 + 2.340214753424868 + 1.263258974474734\right) = 1.084208122931016.$$$
정답
$$$\int\limits_{0}^{1} \sqrt{\sin^{3}{\left(x \right)} + 1}\, dx\approx 1.084208122931016$$$A