함수의 오른쪽 끝점 근사 계산기
함수로 주어진 적분을 오른쪽 끝점을 사용하여 단계별로 근사하기
사용자 입력
오른쪽 끝점 근사를 사용하여 $$$n = 4$$$으로 적분 $$$\int\limits_{1}^{5} \sqrt{\sin^{5}{\left(x \right)} + 1}\, dx$$$의 근사값을 구하시오.
풀이
오른쪽 리만 합(은 ‘오른쪽 끝점 근사’라고도 하며) 근사 직사각형의 높이를 계산하기 위해 부분구간의 오른쪽 끝점을 사용한다:
$$$\int\limits_{a}^{b} f{\left(x \right)}\, dx\approx \Delta x \left(f{\left(x_{1} \right)} + f{\left(x_{2} \right)} + f{\left(x_{3} \right)}+\dots+f{\left(x_{n-1} \right)} + f{\left(x_{n} \right)}\right)$$$
여기서 $$$\Delta x = \frac{b - a}{n}$$$.
다음이 성립한다: $$$f{\left(x \right)} = \sqrt{\sin^{5}{\left(x \right)} + 1}$$$, $$$a = 1$$$, $$$b = 5$$$, 및 $$$n = 4$$$.
따라서 $$$\Delta x = \frac{5 - 1}{4} = 1$$$.
구간 $$$\left[1, 5\right]$$$을 길이가 $$$\Delta x = 1$$$인 $$$n = 4$$$개의 부분구간으로 나누되, 끝점은 다음과 같다: $$$a = 1$$$, $$$2$$$, $$$3$$$, $$$4$$$, $$$5 = b$$$.
이제 각 부분구간의 오른쪽 끝점에서 함수값을 계산하세요.
$$$f{\left(x_{1} \right)} = f{\left(2 \right)} = \sqrt{\sin^{5}{\left(2 \right)} + 1}\approx 1.273431158532973$$$
$$$f{\left(x_{2} \right)} = f{\left(3 \right)} = \sqrt{\sin^{5}{\left(3 \right)} + 1}\approx 1.000027983813047$$$
$$$f{\left(x_{3} \right)} = f{\left(4 \right)} = \sqrt{\sin^{5}{\left(4 \right)} + 1}\approx 0.867027424870839$$$
$$$f{\left(x_{4} \right)} = f{\left(5 \right)} = \sqrt{\sin^{5}{\left(5 \right)} + 1}\approx 0.434954473370867$$$
마지막으로 위의 값들을 모두 더한 다음 $$$\Delta x = 1$$$를 곱합니다: $$$1 \left(1.273431158532973 + 1.000027983813047 + 0.867027424870839 + 0.434954473370867\right) = 3.575441040587726.$$$
정답
$$$\int\limits_{1}^{5} \sqrt{\sin^{5}{\left(x \right)} + 1}\, dx\approx 3.575441040587726$$$A