함수에 대한 왼쪽 끝점 근사 계산기
왼쪽 끝점을 사용하여 (함수로 주어진) 적분을 단계별로 근사하기
사용자 입력
왼쪽 끝점 근사법을 사용하여 $$$n = 5$$$으로 적분 $$$\int\limits_{0}^{4} \sqrt{\cos^{4}{\left(x \right)} + 2}\, dx$$$을 근사하시오.
풀이
왼쪽 리만 합(왼쪽 끝점 근사라고도 함)은 근사 직사각형의 높이를 계산할 때 부분구간의 왼쪽 끝점을 사용한다:
$$$\int\limits_{a}^{b} f{\left(x \right)}\, dx\approx \Delta x \left(f{\left(x_{0} \right)} + f{\left(x_{1} \right)} + f{\left(x_{2} \right)}+\dots+f{\left(x_{n-2} \right)} + f{\left(x_{n-1} \right)}\right)$$$
여기서 $$$\Delta x = \frac{b - a}{n}$$$.
다음이 성립한다: $$$f{\left(x \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(x \right)} + 2}$$$, $$$a = 0$$$, $$$b = 4$$$, 및 $$$n = 5$$$.
따라서 $$$\Delta x = \frac{4 - 0}{5} = \frac{4}{5}$$$.
구간 $$$\left[0, 4\right]$$$을 길이가 $$$\Delta x = \frac{4}{5}$$$인 $$$n = 5$$$개의 부분구간으로 나누되, 끝점은 다음과 같다: $$$a = 0$$$, $$$\frac{4}{5}$$$, $$$\frac{8}{5}$$$, $$$\frac{12}{5}$$$, $$$\frac{16}{5}$$$, $$$4 = b$$$.
이제 부분구간의 왼쪽 끝점에서 함수값을 평가하세요.
$$$f{\left(x_{0} \right)} = f{\left(0 \right)} = \sqrt{3}\approx 1.732050807568877$$$
$$$f{\left(x_{1} \right)} = f{\left(\frac{4}{5} \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(\frac{4}{5} \right)} + 2}\approx 1.495196773630485$$$
$$$f{\left(x_{2} \right)} = f{\left(\frac{8}{5} \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(\frac{8}{5} \right)} + 2}\approx 1.414213819387789$$$
$$$f{\left(x_{3} \right)} = f{\left(\frac{12}{5} \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(\frac{12}{5} \right)} + 2}\approx 1.515144715776502$$$
$$$f{\left(x_{4} \right)} = f{\left(\frac{16}{5} \right)} = \sqrt{\cos^{4}{\left(\frac{16}{5} \right)} + 2}\approx 1.730085700215823$$$
마지막으로 위의 값들을 모두 더한 다음 $$$\Delta x = \frac{4}{5}$$$를 곱합니다: $$$\frac{4}{5} \left(1.732050807568877 + 1.495196773630485 + 1.414213819387789 + 1.515144715776502 + 1.730085700215823\right) = 6.309353453263581.$$$
정답
$$$\int\limits_{0}^{4} \sqrt{\cos^{4}{\left(x \right)} + 2}\, dx\approx 6.309353453263581$$$A