$$$\frac{\ln\left(\sqrt{x}\right)}{x}$$$의 적분

$$$\int \frac{\ln\left(x\right)}{2 x}\, dx$$$을(를) 구하시오.

입력이 다음과 같이 다시 쓰입니다: $$$\int{\frac{\ln{\left(\sqrt{x} \right)}}{x} d x}=\int{\frac{\ln{\left(x \right)}}{2 x} d x}$$$.

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$을 $$$c=\frac{1}{2}$$$와 $$$f{\left(x \right)} = \frac{\ln{\left(x \right)}}{x}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{\frac{\ln{\left(x \right)}}{2 x} d x}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{\ln{\left(x \right)}}{x} d x}}{2}\right)}}$$

$$$u=\ln{\left(x \right)}$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(\ln{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{x}$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$\frac{dx}{x} = du$$$임을 얻습니다.

따라서,

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{\ln{\left(x \right)}}{x} d x}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\int{u d u}}}}{2}$$

멱법칙($$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$)을 $$$n=1$$$에 적용합니다:

$$\frac{{\color{red}{\int{u d u}}}}{2}=\frac{{\color{red}{\frac{u^{1 + 1}}{1 + 1}}}}{2}=\frac{{\color{red}{\left(\frac{u^{2}}{2}\right)}}}{2}$$

다음 $$$u=\ln{\left(x \right)}$$$을 기억하라:

$$\frac{{\color{red}{u}}^{2}}{4} = \frac{{\color{red}{\ln{\left(x \right)}}}^{2}}{4}$$

따라서,

$$\int{\frac{\ln{\left(x \right)}}{2 x} d x} = \frac{\ln{\left(x \right)}^{2}}{4}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\frac{\ln{\left(x \right)}}{2 x} d x} = \frac{\ln{\left(x \right)}^{2}}{4}+C$$

$$$\int \frac{\ln\left(x\right)}{2 x}\, dx = \frac{\ln^{2}\left(x\right)}{4} + C$$$A