$$$\frac{1}{\sqrt{x^{2} + x + 1}}$$$의 적분

$$$\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} + x + 1}}\, dx$$$을(를) 구하시오.

제곱을 완성하세요 (단계는 »에서 볼 수 있습니다): $$$x^{2} + x + 1 = \left(x + \frac{1}{2}\right)^{2} + \frac{3}{4}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{x^{2} + x + 1}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{\left(x + \frac{1}{2}\right)^{2} + \frac{3}{4}}} d x}}}$$

$$$u=x + \frac{1}{2}$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(x + \frac{1}{2}\right)^{\prime }dx = 1 dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$dx = du$$$임을 얻습니다.

따라서,

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{\left(x + \frac{1}{2}\right)^{2} + \frac{3}{4}}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{u^{2} + \frac{3}{4}}} d u}}}$$

$$$u=\frac{\sqrt{3} \sinh{\left(v \right)}}{2}$$$라 하자.

따라서 $$$du=\left(\frac{\sqrt{3} \sinh{\left(v \right)}}{2}\right)^{\prime }dv = \frac{\sqrt{3} \cosh{\left(v \right)}}{2} dv$$$ (풀이 과정은 »에서 볼 수 있습니다).

또한 $$$v=\operatorname{asinh}{\left(\frac{2 \sqrt{3} u}{3} \right)}$$$가 성립한다.

따라서,

$$$\frac{1}{\sqrt{ u ^{2} + \frac{3}{4}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{3 \sinh^{2}{\left( v \right)}}{4} + \frac{3}{4}}}$$$

$$$\sinh^{2}{\left( v \right)} + 1 = \cosh^{2}{\left( v \right)}$$$ 항등식을 사용하시오:

$$$\frac{1}{\sqrt{\frac{3 \sinh^{2}{\left( v \right)}}{4} + \frac{3}{4}}}=\frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{\sinh^{2}{\left( v \right)} + 1}}=\frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{\cosh^{2}{\left( v \right)}}}$$$

$$$\frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{\cosh^{2}{\left( v \right)}}} = \frac{2 \sqrt{3}}{3 \cosh{\left( v \right)}}$$$

따라서,

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{u^{2} + \frac{3}{4}}} d u}}} = {\color{red}{\int{1 d v}}}$$

상수 법칙 $$$\int c\, dv = c v$$$을 $$$c=1$$$에 적용하십시오:

$${\color{red}{\int{1 d v}}} = {\color{red}{v}}$$

다음 $$$v=\operatorname{asinh}{\left(\frac{2 \sqrt{3} u}{3} \right)}$$$을 기억하라:

$${\color{red}{v}} = {\color{red}{\operatorname{asinh}{\left(\frac{2 \sqrt{3} u}{3} \right)}}}$$

다음 $$$u=x + \frac{1}{2}$$$을 기억하라:

$$\operatorname{asinh}{\left(\frac{2 \sqrt{3} {\color{red}{u}}}{3} \right)} = \operatorname{asinh}{\left(\frac{2 \sqrt{3} {\color{red}{\left(x + \frac{1}{2}\right)}}}{3} \right)}$$

따라서,

$$\int{\frac{1}{\sqrt{x^{2} + x + 1}} d x} = \operatorname{asinh}{\left(\frac{2 \sqrt{3} \left(x + \frac{1}{2}\right)}{3} \right)}$$

간단히 하시오:

$$\int{\frac{1}{\sqrt{x^{2} + x + 1}} d x} = \operatorname{asinh}{\left(\frac{\sqrt{3} \left(2 x + 1\right)}{3} \right)}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\frac{1}{\sqrt{x^{2} + x + 1}} d x} = \operatorname{asinh}{\left(\frac{\sqrt{3} \left(2 x + 1\right)}{3} \right)}+C$$

$$$\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} + x + 1}}\, dx = \operatorname{asinh}{\left(\frac{\sqrt{3} \left(2 x + 1\right)}{3} \right)} + C$$$A