$$$x \sin{\left(x \right)}$$$의 적분

$$$\int x \sin{\left(x \right)}\, dx$$$을(를) 구하시오.

적분 $$$\int{x \sin{\left(x \right)} d x}$$$에 대해서는 부분적분법 $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$을 사용하십시오.

$$$\operatorname{u}=x$$$와 $$$\operatorname{dv}=\sin{\left(x \right)} dx$$$라고 하자.

그러면 $$$\operatorname{du}=\left(x\right)^{\prime }dx=1 dx$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음) 및 $$$\operatorname{v}=\int{\sin{\left(x \right)} d x}=- \cos{\left(x \right)}$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음).

적분은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

$${\color{red}{\int{x \sin{\left(x \right)} d x}}}={\color{red}{\left(x \cdot \left(- \cos{\left(x \right)}\right)-\int{\left(- \cos{\left(x \right)}\right) \cdot 1 d x}\right)}}={\color{red}{\left(- x \cos{\left(x \right)} - \int{\left(- \cos{\left(x \right)}\right)d x}\right)}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$을 $$$c=-1$$$와 $$$f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$$$에 적용하세요:

$$- x \cos{\left(x \right)} - {\color{red}{\int{\left(- \cos{\left(x \right)}\right)d x}}} = - x \cos{\left(x \right)} - {\color{red}{\left(- \int{\cos{\left(x \right)} d x}\right)}}$$

코사인의 적분은 $$$\int{\cos{\left(x \right)} d x} = \sin{\left(x \right)}$$$:

$$- x \cos{\left(x \right)} + {\color{red}{\int{\cos{\left(x \right)} d x}}} = - x \cos{\left(x \right)} + {\color{red}{\sin{\left(x \right)}}}$$

따라서,

$$\int{x \sin{\left(x \right)} d x} = - x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{x \sin{\left(x \right)} d x} = - x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}+C$$

$$$\int x \sin{\left(x \right)}\, dx = \left(- x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right) + C$$$A