$$$x \sqrt{x^{2} - 1}$$$의 적분

$$$\int x \sqrt{x^{2} - 1}\, dx$$$을(를) 구하시오.

$$$u=x^{2} - 1$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(x^{2} - 1\right)^{\prime }dx = 2 x dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$x dx = \frac{du}{2}$$$임을 얻습니다.

따라서,

$${\color{red}{\int{x \sqrt{x^{2} - 1} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\sqrt{u}}{2} d u}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=\frac{1}{2}$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \sqrt{u}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{\frac{\sqrt{u}}{2} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\sqrt{u} d u}}{2}\right)}}$$

멱법칙($$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$)을 $$$n=\frac{1}{2}$$$에 적용합니다:

$$\frac{{\color{red}{\int{\sqrt{u} d u}}}}{2}=\frac{{\color{red}{\int{u^{\frac{1}{2}} d u}}}}{2}=\frac{{\color{red}{\frac{u^{\frac{1}{2} + 1}}{\frac{1}{2} + 1}}}}{2}=\frac{{\color{red}{\left(\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}\right)}}}{2}$$

다음 $$$u=x^{2} - 1$$$을 기억하라:

$$\frac{{\color{red}{u}}^{\frac{3}{2}}}{3} = \frac{{\color{red}{\left(x^{2} - 1\right)}}^{\frac{3}{2}}}{3}$$

따라서,

$$\int{x \sqrt{x^{2} - 1} d x} = \frac{\left(x^{2} - 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{x \sqrt{x^{2} - 1} d x} = \frac{\left(x^{2} - 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}+C$$

$$$\int x \sqrt{x^{2} - 1}\, dx = \frac{\left(x^{2} - 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3} + C$$$A