$$$\sin^{4}{\left(6 x \right)}$$$의 적분

$$$\int \sin^{4}{\left(6 x \right)}\, dx$$$을(를) 구하시오.

$$$u=6 x$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(6 x\right)^{\prime }dx = 6 dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$dx = \frac{du}{6}$$$임을 얻습니다.

따라서,

$${\color{red}{\int{\sin^{4}{\left(6 x \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\sin^{4}{\left(u \right)}}{6} d u}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=\frac{1}{6}$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \sin^{4}{\left(u \right)}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{\frac{\sin^{4}{\left(u \right)}}{6} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\sin^{4}{\left(u \right)} d u}}{6}\right)}}$$

멱 감소 공식 $$$\sin^{4}{\left(\alpha \right)} = - \frac{\cos{\left(2 \alpha \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(4 \alpha \right)}}{8} + \frac{3}{8}$$$를 $$$\alpha= u $$$에 적용하세요:

$$\frac{{\color{red}{\int{\sin^{4}{\left(u \right)} d u}}}}{6} = \frac{{\color{red}{\int{\left(- \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(4 u \right)}}{8} + \frac{3}{8}\right)d u}}}}{6}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=\frac{1}{8}$$$와 $$$f{\left(u \right)} = - 4 \cos{\left(2 u \right)} + \cos{\left(4 u \right)} + 3$$$에 적용하세요:

$$\frac{{\color{red}{\int{\left(- \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(4 u \right)}}{8} + \frac{3}{8}\right)d u}}}}{6} = \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{\left(- 4 \cos{\left(2 u \right)} + \cos{\left(4 u \right)} + 3\right)d u}}{8}\right)}}}{6}$$

각 항별로 적분하십시오:

$$\frac{{\color{red}{\int{\left(- 4 \cos{\left(2 u \right)} + \cos{\left(4 u \right)} + 3\right)d u}}}}{48} = \frac{{\color{red}{\left(\int{3 d u} - \int{4 \cos{\left(2 u \right)} d u} + \int{\cos{\left(4 u \right)} d u}\right)}}}{48}$$

상수 법칙 $$$\int c\, du = c u$$$을 $$$c=3$$$에 적용하십시오:

$$- \frac{\int{4 \cos{\left(2 u \right)} d u}}{48} + \frac{\int{\cos{\left(4 u \right)} d u}}{48} + \frac{{\color{red}{\int{3 d u}}}}{48} = - \frac{\int{4 \cos{\left(2 u \right)} d u}}{48} + \frac{\int{\cos{\left(4 u \right)} d u}}{48} + \frac{{\color{red}{\left(3 u\right)}}}{48}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=4$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(2 u \right)}$$$에 적용하세요:

$$\frac{u}{16} + \frac{\int{\cos{\left(4 u \right)} d u}}{48} - \frac{{\color{red}{\int{4 \cos{\left(2 u \right)} d u}}}}{48} = \frac{u}{16} + \frac{\int{\cos{\left(4 u \right)} d u}}{48} - \frac{{\color{red}{\left(4 \int{\cos{\left(2 u \right)} d u}\right)}}}{48}$$

$$$v=2 u$$$라 하자.

그러면 $$$dv=\left(2 u\right)^{\prime }du = 2 du$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$du = \frac{dv}{2}$$$임을 얻습니다.

따라서,

$$\frac{u}{16} + \frac{\int{\cos{\left(4 u \right)} d u}}{48} - \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(2 u \right)} d u}}}}{12} = \frac{u}{16} + \frac{\int{\cos{\left(4 u \right)} d u}}{48} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(v \right)}}{2} d v}}}}{12}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$을 $$$c=\frac{1}{2}$$$와 $$$f{\left(v \right)} = \cos{\left(v \right)}$$$에 적용하세요:

$$\frac{u}{16} + \frac{\int{\cos{\left(4 u \right)} d u}}{48} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(v \right)}}{2} d v}}}}{12} = \frac{u}{16} + \frac{\int{\cos{\left(4 u \right)} d u}}{48} - \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{\cos{\left(v \right)} d v}}{2}\right)}}}{12}$$

코사인의 적분은 $$$\int{\cos{\left(v \right)} d v} = \sin{\left(v \right)}$$$:

$$\frac{u}{16} + \frac{\int{\cos{\left(4 u \right)} d u}}{48} - \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(v \right)} d v}}}}{24} = \frac{u}{16} + \frac{\int{\cos{\left(4 u \right)} d u}}{48} - \frac{{\color{red}{\sin{\left(v \right)}}}}{24}$$

다음 $$$v=2 u$$$을 기억하라:

$$\frac{u}{16} + \frac{\int{\cos{\left(4 u \right)} d u}}{48} - \frac{\sin{\left({\color{red}{v}} \right)}}{24} = \frac{u}{16} + \frac{\int{\cos{\left(4 u \right)} d u}}{48} - \frac{\sin{\left({\color{red}{\left(2 u\right)}} \right)}}{24}$$

$$$v=4 u$$$라 하자.

그러면 $$$dv=\left(4 u\right)^{\prime }du = 4 du$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$du = \frac{dv}{4}$$$임을 얻습니다.

적분은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

$$\frac{u}{16} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{24} + \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(4 u \right)} d u}}}}{48} = \frac{u}{16} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{24} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(v \right)}}{4} d v}}}}{48}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$을 $$$c=\frac{1}{4}$$$와 $$$f{\left(v \right)} = \cos{\left(v \right)}$$$에 적용하세요:

$$\frac{u}{16} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{24} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(v \right)}}{4} d v}}}}{48} = \frac{u}{16} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{24} + \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{\cos{\left(v \right)} d v}}{4}\right)}}}{48}$$

코사인의 적분은 $$$\int{\cos{\left(v \right)} d v} = \sin{\left(v \right)}$$$:

$$\frac{u}{16} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{24} + \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(v \right)} d v}}}}{192} = \frac{u}{16} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{24} + \frac{{\color{red}{\sin{\left(v \right)}}}}{192}$$

다음 $$$v=4 u$$$을 기억하라:

$$\frac{u}{16} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{24} + \frac{\sin{\left({\color{red}{v}} \right)}}{192} = \frac{u}{16} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{24} + \frac{\sin{\left({\color{red}{\left(4 u\right)}} \right)}}{192}$$

다음 $$$u=6 x$$$을 기억하라:

$$- \frac{\sin{\left(2 {\color{red}{u}} \right)}}{24} + \frac{\sin{\left(4 {\color{red}{u}} \right)}}{192} + \frac{{\color{red}{u}}}{16} = - \frac{\sin{\left(2 {\color{red}{\left(6 x\right)}} \right)}}{24} + \frac{\sin{\left(4 {\color{red}{\left(6 x\right)}} \right)}}{192} + \frac{{\color{red}{\left(6 x\right)}}}{16}$$

따라서,

$$\int{\sin^{4}{\left(6 x \right)} d x} = \frac{3 x}{8} - \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{24} + \frac{\sin{\left(24 x \right)}}{192}$$

간단히 하시오:

$$\int{\sin^{4}{\left(6 x \right)} d x} = \frac{72 x - 8 \sin{\left(12 x \right)} + \sin{\left(24 x \right)}}{192}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\sin^{4}{\left(6 x \right)} d x} = \frac{72 x - 8 \sin{\left(12 x \right)} + \sin{\left(24 x \right)}}{192}+C$$

$$$\int \sin^{4}{\left(6 x \right)}\, dx = \frac{72 x - 8 \sin{\left(12 x \right)} + \sin{\left(24 x \right)}}{192} + C$$$A