$$$\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{2}$$$의 적분

$$$\int \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{2}\, dx$$$을(를) 구하시오.

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$을 $$$c=\frac{1}{2}$$$와 $$$f{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(x \right)}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{2} d x}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\sin^{2}{\left(x \right)} d x}}{2}\right)}}$$

멱 감소 공식 $$$\sin^{2}{\left(\alpha \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 \alpha \right)}}{2}$$$를 $$$\alpha=x$$$에 적용하세요:

$$\frac{{\color{red}{\int{\sin^{2}{\left(x \right)} d x}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\int{\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)d x}}}}{2}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$을 $$$c=\frac{1}{2}$$$와 $$$f{\left(x \right)} = 1 - \cos{\left(2 x \right)}$$$에 적용하세요:

$$\frac{{\color{red}{\int{\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)d x}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{\left(1 - \cos{\left(2 x \right)}\right)d x}}{2}\right)}}}{2}$$

각 항별로 적분하십시오:

$$\frac{{\color{red}{\int{\left(1 - \cos{\left(2 x \right)}\right)d x}}}}{4} = \frac{{\color{red}{\left(\int{1 d x} - \int{\cos{\left(2 x \right)} d x}\right)}}}{4}$$

상수 법칙 $$$\int c\, dx = c x$$$을 $$$c=1$$$에 적용하십시오:

$$- \frac{\int{\cos{\left(2 x \right)} d x}}{4} + \frac{{\color{red}{\int{1 d x}}}}{4} = - \frac{\int{\cos{\left(2 x \right)} d x}}{4} + \frac{{\color{red}{x}}}{4}$$

$$$u=2 x$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(2 x\right)^{\prime }dx = 2 dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$dx = \frac{du}{2}$$$임을 얻습니다.

따라서,

$$\frac{x}{4} - \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(2 x \right)} d x}}}}{4} = \frac{x}{4} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{2} d u}}}}{4}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=\frac{1}{2}$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$$$에 적용하세요:

$$\frac{x}{4} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{2} d u}}}}{4} = \frac{x}{4} - \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}{2}\right)}}}{4}$$

코사인의 적분은 $$$\int{\cos{\left(u \right)} d u} = \sin{\left(u \right)}$$$:

$$\frac{x}{4} - \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}}}{8} = \frac{x}{4} - \frac{{\color{red}{\sin{\left(u \right)}}}}{8}$$

다음 $$$u=2 x$$$을 기억하라:

$$\frac{x}{4} - \frac{\sin{\left({\color{red}{u}} \right)}}{8} = \frac{x}{4} - \frac{\sin{\left({\color{red}{\left(2 x\right)}} \right)}}{8}$$

따라서,

$$\int{\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{2} d x} = \frac{x}{4} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{8}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{2} d x} = \frac{x}{4} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{8}+C$$

$$$\int \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{2}\, dx = \left(\frac{x}{4} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{8}\right) + C$$$A