$$$\cot^{2}{\left(x \right)}$$$의 적분

$$$\int \cot^{2}{\left(x \right)}\, dx$$$을(를) 구하시오.

$$$u=\cot{\left(x \right)}$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(\cot{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx = - \csc^{2}{\left(x \right)} dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$\csc^{2}{\left(x \right)} dx = - du$$$임을 얻습니다.

따라서,

$${\color{red}{\int{\cot^{2}{\left(x \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{u^{2}}{u^{2} + 1}\right)d u}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=-1$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \frac{u^{2}}{u^{2} + 1}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{u^{2}}{u^{2} + 1}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \int{\frac{u^{2}}{u^{2} + 1} d u}\right)}}$$

분수식을 다시 쓰고 분리하세요:

$$- {\color{red}{\int{\frac{u^{2}}{u^{2} + 1} d u}}} = - {\color{red}{\int{\left(1 - \frac{1}{u^{2} + 1}\right)d u}}}$$

각 항별로 적분하십시오:

$$- {\color{red}{\int{\left(1 - \frac{1}{u^{2} + 1}\right)d u}}} = - {\color{red}{\left(\int{1 d u} - \int{\frac{1}{u^{2} + 1} d u}\right)}}$$

상수 법칙 $$$\int c\, du = c u$$$을 $$$c=1$$$에 적용하십시오:

$$\int{\frac{1}{u^{2} + 1} d u} - {\color{red}{\int{1 d u}}} = \int{\frac{1}{u^{2} + 1} d u} - {\color{red}{u}}$$

$$$\frac{1}{u^{2} + 1}$$$의 적분은 $$$\int{\frac{1}{u^{2} + 1} d u} = \operatorname{atan}{\left(u \right)}$$$:

$$- u + {\color{red}{\int{\frac{1}{u^{2} + 1} d u}}} = - u + {\color{red}{\operatorname{atan}{\left(u \right)}}}$$

다음 $$$u=\cot{\left(x \right)}$$$을 기억하라:

$$\operatorname{atan}{\left({\color{red}{u}} \right)} - {\color{red}{u}} = \operatorname{atan}{\left({\color{red}{\cot{\left(x \right)}}} \right)} - {\color{red}{\cot{\left(x \right)}}}$$

따라서,

$$\int{\cot^{2}{\left(x \right)} d x} = - \cot{\left(x \right)} + \operatorname{atan}{\left(\cot{\left(x \right)} \right)}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\cot^{2}{\left(x \right)} d x} = - \cot{\left(x \right)} + \operatorname{atan}{\left(\cot{\left(x \right)} \right)}+C$$

$$$\int \cot^{2}{\left(x \right)}\, dx = \left(- \cot{\left(x \right)} + \operatorname{atan}{\left(\cot{\left(x \right)} \right)}\right) + C$$$A