$$$\cos{\left(x \right)} \cos{\left(3 x \right)}$$$의 적분

$$$\int \cos{\left(x \right)} \cos{\left(3 x \right)}\, dx$$$을(를) 구하시오.

공식 $$$\cos\left(\alpha \right)\cos\left(\beta \right)=\frac{1}{2} \cos\left(\alpha-\beta \right)+\frac{1}{2} \cos\left(\alpha+\beta \right)$$$을 사용하여 $$$\alpha=x$$$ 및 $$$\beta=3 x$$$에 대해 피적분함수를 다시 쓰십시오.:

$${\color{red}{\int{\cos{\left(x \right)} \cos{\left(3 x \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\right)d x}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$을 $$$c=\frac{1}{2}$$$와 $$$f{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x \right)} + \cos{\left(4 x \right)}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\left(\cos{\left(2 x \right)} + \cos{\left(4 x \right)}\right)d x}}{2}\right)}}$$

각 항별로 적분하십시오:

$$\frac{{\color{red}{\int{\left(\cos{\left(2 x \right)} + \cos{\left(4 x \right)}\right)d x}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\left(\int{\cos{\left(2 x \right)} d x} + \int{\cos{\left(4 x \right)} d x}\right)}}}{2}$$

$$$u=2 x$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(2 x\right)^{\prime }dx = 2 dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$dx = \frac{du}{2}$$$임을 얻습니다.

따라서,

$$\frac{\int{\cos{\left(4 x \right)} d x}}{2} + \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(2 x \right)} d x}}}}{2} = \frac{\int{\cos{\left(4 x \right)} d x}}{2} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{2} d u}}}}{2}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=\frac{1}{2}$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$$$에 적용하세요:

$$\frac{\int{\cos{\left(4 x \right)} d x}}{2} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{2} d u}}}}{2} = \frac{\int{\cos{\left(4 x \right)} d x}}{2} + \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}{2}\right)}}}{2}$$

코사인의 적분은 $$$\int{\cos{\left(u \right)} d u} = \sin{\left(u \right)}$$$:

$$\frac{\int{\cos{\left(4 x \right)} d x}}{2} + \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}}}{4} = \frac{\int{\cos{\left(4 x \right)} d x}}{2} + \frac{{\color{red}{\sin{\left(u \right)}}}}{4}$$

다음 $$$u=2 x$$$을 기억하라:

$$\frac{\int{\cos{\left(4 x \right)} d x}}{2} + \frac{\sin{\left({\color{red}{u}} \right)}}{4} = \frac{\int{\cos{\left(4 x \right)} d x}}{2} + \frac{\sin{\left({\color{red}{\left(2 x\right)}} \right)}}{4}$$

$$$u=4 x$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(4 x\right)^{\prime }dx = 4 dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$dx = \frac{du}{4}$$$임을 얻습니다.

따라서,

$$\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(4 x \right)} d x}}}}{2} = \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{4} d u}}}}{2}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=\frac{1}{4}$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$$$에 적용하세요:

$$\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{4} d u}}}}{2} = \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}{4}\right)}}}{2}$$

코사인의 적분은 $$$\int{\cos{\left(u \right)} d u} = \sin{\left(u \right)}$$$:

$$\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}}}{8} = \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{{\color{red}{\sin{\left(u \right)}}}}{8}$$

다음 $$$u=4 x$$$을 기억하라:

$$\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left({\color{red}{u}} \right)}}{8} = \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left({\color{red}{\left(4 x\right)}} \right)}}{8}$$

따라서,

$$\int{\cos{\left(x \right)} \cos{\left(3 x \right)} d x} = \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$$

간단히 하시오:

$$\int{\cos{\left(x \right)} \cos{\left(3 x \right)} d x} = \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\cos{\left(x \right)} \cos{\left(3 x \right)} d x} = \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}+C$$

$$$\int \cos{\left(x \right)} \cos{\left(3 x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)} + C$$$A