$$$\sin{\left(\frac{\pi x}{3} \right)} \cos{\left(\frac{\pi x}{3} \right)}$$$의 적분

$$$\int \sin{\left(\frac{\pi x}{3} \right)} \cos{\left(\frac{\pi x}{3} \right)}\, dx$$$을(를) 구하시오.

$$$u=\sin{\left(\frac{\pi x}{3} \right)}$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(\sin{\left(\frac{\pi x}{3} \right)}\right)^{\prime }dx = \frac{\pi \cos{\left(\frac{\pi x}{3} \right)}}{3} dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$\cos{\left(\frac{\pi x}{3} \right)} dx = \frac{3 du}{\pi}$$$임을 얻습니다.

따라서,

$${\color{red}{\int{\sin{\left(\frac{\pi x}{3} \right)} \cos{\left(\frac{\pi x}{3} \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{3 u}{\pi} d u}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=\frac{3}{\pi}$$$와 $$$f{\left(u \right)} = u$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{\frac{3 u}{\pi} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{3 \int{u d u}}{\pi}\right)}}$$

멱법칙($$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$)을 $$$n=1$$$에 적용합니다:

$$\frac{3 {\color{red}{\int{u d u}}}}{\pi}=\frac{3 {\color{red}{\frac{u^{1 + 1}}{1 + 1}}}}{\pi}=\frac{3 {\color{red}{\left(\frac{u^{2}}{2}\right)}}}{\pi}$$

다음 $$$u=\sin{\left(\frac{\pi x}{3} \right)}$$$을 기억하라:

$$\frac{3 {\color{red}{u}}^{2}}{2 \pi} = \frac{3 {\color{red}{\sin{\left(\frac{\pi x}{3} \right)}}}^{2}}{2 \pi}$$

따라서,

$$\int{\sin{\left(\frac{\pi x}{3} \right)} \cos{\left(\frac{\pi x}{3} \right)} d x} = \frac{3 \sin^{2}{\left(\frac{\pi x}{3} \right)}}{2 \pi}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\sin{\left(\frac{\pi x}{3} \right)} \cos{\left(\frac{\pi x}{3} \right)} d x} = \frac{3 \sin^{2}{\left(\frac{\pi x}{3} \right)}}{2 \pi}+C$$

$$$\int \sin{\left(\frac{\pi x}{3} \right)} \cos{\left(\frac{\pi x}{3} \right)}\, dx = \frac{3 \sin^{2}{\left(\frac{\pi x}{3} \right)}}{2 \pi} + C$$$A