$$$\frac{1}{\sqrt{y \left(y - 1\right)}}$$$의 적분

$$$\int \frac{1}{\sqrt{y \left(y - 1\right)}}\, dy$$$을(를) 구하시오.

입력이 다음과 같이 다시 쓰입니다: $$$\int{\frac{1}{\sqrt{y \left(y - 1\right)}} d y}=\int{\frac{1}{\sqrt{y^{2} - y}} d y}$$$.

제곱을 완성하세요 (단계는 »에서 볼 수 있습니다): $$$y^{2} - y = \left(y - \frac{1}{2}\right)^{2} - \frac{1}{4}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{y^{2} - y}} d y}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{\left(y - \frac{1}{2}\right)^{2} - \frac{1}{4}}} d y}}}$$

$$$u=y - \frac{1}{2}$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(y - \frac{1}{2}\right)^{\prime }dy = 1 dy$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$dy = du$$$임을 얻습니다.

따라서,

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{\left(y - \frac{1}{2}\right)^{2} - \frac{1}{4}}} d y}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{u^{2} - \frac{1}{4}}} d u}}}$$

$$$u=\frac{\cosh{\left(v \right)}}{2}$$$라 하자.

따라서 $$$du=\left(\frac{\cosh{\left(v \right)}}{2}\right)^{\prime }dv = \frac{\sinh{\left(v \right)}}{2} dv$$$ (풀이 과정은 »에서 볼 수 있습니다).

또한 $$$v=\operatorname{acosh}{\left(2 u \right)}$$$가 성립한다.

따라서,

$$$\frac{1}{\sqrt{ u ^{2} - \frac{1}{4}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{\cosh^{2}{\left( v \right)}}{4} - \frac{1}{4}}}$$$

$$$\cosh^{2}{\left( v \right)} - 1 = \sinh^{2}{\left( v \right)}$$$ 항등식을 사용하시오:

$$$\frac{1}{\sqrt{\frac{\cosh^{2}{\left( v \right)}}{4} - \frac{1}{4}}}=\frac{2}{\sqrt{\cosh^{2}{\left( v \right)} - 1}}=\frac{2}{\sqrt{\sinh^{2}{\left( v \right)}}}$$$

$$$\sinh{\left( v \right)} \ge 0$$$라고 가정하면, 다음을 얻습니다:

$$$\frac{2}{\sqrt{\sinh^{2}{\left( v \right)}}} = \frac{2}{\sinh{\left( v \right)}}$$$

적분은 다음과 같이 됩니다

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{u^{2} - \frac{1}{4}}} d u}}} = {\color{red}{\int{1 d v}}}$$

상수 법칙 $$$\int c\, dv = c v$$$을 $$$c=1$$$에 적용하십시오:

$${\color{red}{\int{1 d v}}} = {\color{red}{v}}$$

다음 $$$v=\operatorname{acosh}{\left(2 u \right)}$$$을 기억하라:

$${\color{red}{v}} = {\color{red}{\operatorname{acosh}{\left(2 u \right)}}}$$

다음 $$$u=y - \frac{1}{2}$$$을 기억하라:

$$\operatorname{acosh}{\left(2 {\color{red}{u}} \right)} = \operatorname{acosh}{\left(2 {\color{red}{\left(y - \frac{1}{2}\right)}} \right)}$$

따라서,

$$\int{\frac{1}{\sqrt{y^{2} - y}} d y} = \operatorname{acosh}{\left(2 y - 1 \right)}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\frac{1}{\sqrt{y^{2} - y}} d y} = \operatorname{acosh}{\left(2 y - 1 \right)}+C$$

$$$\int \frac{1}{\sqrt{y \left(y - 1\right)}}\, dy = \operatorname{acosh}{\left(2 y - 1 \right)} + C$$$A