$$$\frac{1}{e^{x} - 1}$$$의 적분

$$$\int \frac{1}{e^{x} - 1}\, dx$$$을(를) 구하시오.

$$$u=e^{x}$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(e^{x}\right)^{\prime }dx = e^{x} dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$e^{x} dx = du$$$임을 얻습니다.

적분은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

$${\color{red}{\int{\frac{1}{e^{x} - 1} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{u \left(u - 1\right)} d u}}}$$

부분분수분해를 수행합니다(단계는 »에서 볼 수 있습니다):

$${\color{red}{\int{\frac{1}{u \left(u - 1\right)} d u}}} = {\color{red}{\int{\left(\frac{1}{u - 1} - \frac{1}{u}\right)d u}}}$$

각 항별로 적분하십시오:

$${\color{red}{\int{\left(\frac{1}{u - 1} - \frac{1}{u}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \int{\frac{1}{u} d u} + \int{\frac{1}{u - 1} d u}\right)}}$$

$$$v=u - 1$$$라 하자.

그러면 $$$dv=\left(u - 1\right)^{\prime }du = 1 du$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$du = dv$$$임을 얻습니다.

적분은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

$$- \int{\frac{1}{u} d u} + {\color{red}{\int{\frac{1}{u - 1} d u}}} = - \int{\frac{1}{u} d u} + {\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}}$$

$$$\frac{1}{v}$$$의 적분은 $$$\int{\frac{1}{v} d v} = \ln{\left(\left|{v}\right| \right)}$$$:

$$- \int{\frac{1}{u} d u} + {\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}} = - \int{\frac{1}{u} d u} + {\color{red}{\ln{\left(\left|{v}\right| \right)}}}$$

다음 $$$v=u - 1$$$을 기억하라:

$$\ln{\left(\left|{{\color{red}{v}}}\right| \right)} - \int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(u - 1\right)}}}\right| \right)} - \int{\frac{1}{u} d u}$$

$$$\frac{1}{u}$$$의 적분은 $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$:

$$\ln{\left(\left|{u - 1}\right| \right)} - {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}} = \ln{\left(\left|{u - 1}\right| \right)} - {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}$$

다음 $$$u=e^{x}$$$을 기억하라:

$$\ln{\left(\left|{-1 + {\color{red}{u}}}\right| \right)} - \ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)} = \ln{\left(\left|{-1 + {\color{red}{e^{x}}}}\right| \right)} - \ln{\left(\left|{{\color{red}{e^{x}}}}\right| \right)}$$

따라서,

$$\int{\frac{1}{e^{x} - 1} d x} = - x + \ln{\left(\left|{e^{x} - 1}\right| \right)}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\frac{1}{e^{x} - 1} d x} = - x + \ln{\left(\left|{e^{x} - 1}\right| \right)}+C$$

$$$\int \frac{1}{e^{x} - 1}\, dx = \left(- x + \ln\left(\left|{e^{x} - 1}\right|\right)\right) + C$$$A