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$$$e^{4 x}$$$의 이차 도함수
사용자 입력
$$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(e^{4 x}\right)$$$을(를) 구하시오.
풀이
제1도함수 $$$\frac{d}{dx} \left(e^{4 x}\right)$$$를 구하세요
함수 $$$e^{4 x}$$$는 두 함수 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$와 $$$g{\left(x \right)} = 4 x$$$의 합성함수 $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$이다.
연쇄법칙 $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$을(를) 적용하십시오:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(e^{4 x}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) \frac{d}{dx} \left(4 x\right)\right)}$$지수함수의 도함수는 $$$\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) = e^{u}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(4 x\right) = {\color{red}\left(e^{u}\right)} \frac{d}{dx} \left(4 x\right)$$역치환:
$$e^{{\color{red}\left(u\right)}} \frac{d}{dx} \left(4 x\right) = e^{{\color{red}\left(4 x\right)}} \frac{d}{dx} \left(4 x\right)$$상수배 법칙 $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$을 $$$c = 4$$$와 $$$f{\left(x \right)} = x$$$에 적용합니다:
$$e^{4 x} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(4 x\right)\right)} = e^{4 x} {\color{red}\left(4 \frac{d}{dx} \left(x\right)\right)}$$멱법칙 $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$을 $$$n = 1$$$에 대해 적용하면, 즉 $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:
$$4 e^{4 x} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} = 4 e^{4 x} {\color{red}\left(1\right)}$$따라서, $$$\frac{d}{dx} \left(e^{4 x}\right) = 4 e^{4 x}$$$.
다음으로, $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(e^{4 x}\right) = \frac{d}{dx} \left(4 e^{4 x}\right)$$$
상수배 법칙 $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$을 $$$c = 4$$$와 $$$f{\left(x \right)} = e^{4 x}$$$에 적용합니다:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(4 e^{4 x}\right)\right)} = {\color{red}\left(4 \frac{d}{dx} \left(e^{4 x}\right)\right)}$$함수 $$$e^{4 x}$$$는 두 함수 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$와 $$$g{\left(x \right)} = 4 x$$$의 합성함수 $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$이다.
연쇄법칙 $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$을(를) 적용하십시오:
$$4 {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(e^{4 x}\right)\right)} = 4 {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) \frac{d}{dx} \left(4 x\right)\right)}$$지수함수의 도함수는 $$$\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) = e^{u}$$$:
$$4 {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(4 x\right) = 4 {\color{red}\left(e^{u}\right)} \frac{d}{dx} \left(4 x\right)$$역치환:
$$4 e^{{\color{red}\left(u\right)}} \frac{d}{dx} \left(4 x\right) = 4 e^{{\color{red}\left(4 x\right)}} \frac{d}{dx} \left(4 x\right)$$상수배 법칙 $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$을 $$$c = 4$$$와 $$$f{\left(x \right)} = x$$$에 적용합니다:
$$4 e^{4 x} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(4 x\right)\right)} = 4 e^{4 x} {\color{red}\left(4 \frac{d}{dx} \left(x\right)\right)}$$멱법칙 $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$을 $$$n = 1$$$에 대해 적용하면, 즉 $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:
$$16 e^{4 x} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} = 16 e^{4 x} {\color{red}\left(1\right)}$$따라서, $$$\frac{d}{dx} \left(4 e^{4 x}\right) = 16 e^{4 x}$$$.
따라서 $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(e^{4 x}\right) = 16 e^{4 x}$$$.
정답
$$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(e^{4 x}\right) = 16 e^{4 x}$$$A