|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Funktion $$$e^{4 x}$$$ toinen derivaatta
Aiheeseen liittyvät laskurit: Derivointilaskin, Logaritmisen derivoinnin laskin
Syötteesi
Määritä $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(e^{4 x}\right)$$$.
Ratkaisu
Laske ensimmäinen derivaatta $$$\frac{d}{dx} \left(e^{4 x}\right)$$$
Funktio $$$e^{4 x}$$$ on kahden funktion $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ ja $$$g{\left(x \right)} = 4 x$$$ yhdistelmä $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$.
Sovella ketjusääntöä $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(e^{4 x}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) \frac{d}{dx} \left(4 x\right)\right)}$$Eksponenttifunktion derivaatta on $$$\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) = e^{u}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(4 x\right) = {\color{red}\left(e^{u}\right)} \frac{d}{dx} \left(4 x\right)$$Palaa alkuperäiseen muuttujaan:
$$e^{{\color{red}\left(u\right)}} \frac{d}{dx} \left(4 x\right) = e^{{\color{red}\left(4 x\right)}} \frac{d}{dx} \left(4 x\right)$$Sovella vakion kerroinsääntöä $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ käyttäen $$$c = 4$$$ ja $$$f{\left(x \right)} = x$$$:
$$e^{4 x} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(4 x\right)\right)} = e^{4 x} {\color{red}\left(4 \frac{d}{dx} \left(x\right)\right)}$$Sovella potenssisääntöä $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ käyttäen $$$n = 1$$$, toisin sanoen, $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:
$$4 e^{4 x} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} = 4 e^{4 x} {\color{red}\left(1\right)}$$Näin ollen, $$$\frac{d}{dx} \left(e^{4 x}\right) = 4 e^{4 x}$$$.
Seuraavaksi $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(e^{4 x}\right) = \frac{d}{dx} \left(4 e^{4 x}\right)$$$
Sovella vakion kerroinsääntöä $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ käyttäen $$$c = 4$$$ ja $$$f{\left(x \right)} = e^{4 x}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(4 e^{4 x}\right)\right)} = {\color{red}\left(4 \frac{d}{dx} \left(e^{4 x}\right)\right)}$$Funktio $$$e^{4 x}$$$ on kahden funktion $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ ja $$$g{\left(x \right)} = 4 x$$$ yhdistelmä $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$.
Sovella ketjusääntöä $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:
$$4 {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(e^{4 x}\right)\right)} = 4 {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) \frac{d}{dx} \left(4 x\right)\right)}$$Eksponenttifunktion derivaatta on $$$\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) = e^{u}$$$:
$$4 {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(4 x\right) = 4 {\color{red}\left(e^{u}\right)} \frac{d}{dx} \left(4 x\right)$$Palaa alkuperäiseen muuttujaan:
$$4 e^{{\color{red}\left(u\right)}} \frac{d}{dx} \left(4 x\right) = 4 e^{{\color{red}\left(4 x\right)}} \frac{d}{dx} \left(4 x\right)$$Sovella vakion kerroinsääntöä $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ käyttäen $$$c = 4$$$ ja $$$f{\left(x \right)} = x$$$:
$$4 e^{4 x} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(4 x\right)\right)} = 4 e^{4 x} {\color{red}\left(4 \frac{d}{dx} \left(x\right)\right)}$$Sovella potenssisääntöä $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ käyttäen $$$n = 1$$$, toisin sanoen, $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:
$$16 e^{4 x} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} = 16 e^{4 x} {\color{red}\left(1\right)}$$Näin ollen, $$$\frac{d}{dx} \left(4 e^{4 x}\right) = 16 e^{4 x}$$$.
Siispä $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(e^{4 x}\right) = 16 e^{4 x}$$$.
Vastaus
$$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(e^{4 x}\right) = 16 e^{4 x}$$$A