미분 계산기
도함수를 단계별로 계산하세요
이 온라인 계산기는 일반적인 미분 법칙(곱의 미분법, 몫의 미분법, 연쇄법칙 등)을 사용하여 임의의 함수의 도함수를 단계별 풀이와 함께 계산합니다. 다항함수, 유리함수, 무리함수, 지수함수, 로그함수, 삼각함수, 역삼각함수, 쌍곡함수, 역쌍곡함수를 처리할 수 있습니다. 또한 필요에 따라 주어진 점에서의 미분계수도 계산합니다. 아울러 1차, 2차, 3차 도함수 등 최대 10차 도함수까지 계산을 지원합니다.
관련 계산기: 로그 미분 계산기, 암시적 미분 계산기 (단계별 풀이)
사용자 입력
$$$\frac{d}{dx} \left(x \sin{\left(2 x \right)}\right)$$$을(를) 구하시오.
풀이
$$$f{\left(x \right)} = x$$$와 $$$g{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)}$$$에 대해 곱의 미분법칙 $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)} g{\left(x \right)}\right) = \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right) g{\left(x \right)} + f{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$을 적용하십시오:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x \sin{\left(2 x \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right) \sin{\left(2 x \right)} + x \frac{d}{dx} \left(\sin{\left(2 x \right)}\right)\right)}$$멱법칙 $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$을 $$$n = 1$$$에 대해 적용하면, 즉 $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:
$$x \frac{d}{dx} \left(\sin{\left(2 x \right)}\right) + \sin{\left(2 x \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} = x \frac{d}{dx} \left(\sin{\left(2 x \right)}\right) + \sin{\left(2 x \right)} {\color{red}\left(1\right)}$$함수 $$$\sin{\left(2 x \right)}$$$는 두 함수 $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$와 $$$g{\left(x \right)} = 2 x$$$의 합성함수 $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$이다.
연쇄법칙 $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$을(를) 적용하십시오:
$$x {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\sin{\left(2 x \right)}\right)\right)} + \sin{\left(2 x \right)} = x {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(2 x\right)\right)} + \sin{\left(2 x \right)}$$사인 함수의 도함수는 $$$\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right) = \cos{\left(u \right)}$$$:
$$x {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(2 x\right) + \sin{\left(2 x \right)} = x {\color{red}\left(\cos{\left(u \right)}\right)} \frac{d}{dx} \left(2 x\right) + \sin{\left(2 x \right)}$$역치환:
$$x \cos{\left({\color{red}\left(u\right)} \right)} \frac{d}{dx} \left(2 x\right) + \sin{\left(2 x \right)} = x \cos{\left({\color{red}\left(2 x\right)} \right)} \frac{d}{dx} \left(2 x\right) + \sin{\left(2 x \right)}$$상수배 법칙 $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$을 $$$c = 2$$$와 $$$f{\left(x \right)} = x$$$에 적용합니다:
$$x \cos{\left(2 x \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(2 x\right)\right)} + \sin{\left(2 x \right)} = x \cos{\left(2 x \right)} {\color{red}\left(2 \frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} + \sin{\left(2 x \right)}$$멱법칙 $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$을 $$$n = 1$$$에 대해 적용하면, 즉 $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:
$$2 x \cos{\left(2 x \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} + \sin{\left(2 x \right)} = 2 x \cos{\left(2 x \right)} {\color{red}\left(1\right)} + \sin{\left(2 x \right)}$$따라서, $$$\frac{d}{dx} \left(x \sin{\left(2 x \right)}\right) = 2 x \cos{\left(2 x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}$$$.
정답
$$$\frac{d}{dx} \left(x \sin{\left(2 x \right)}\right) = 2 x \cos{\left(2 x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}$$$A