$$$x$$$에 대한 $$$\sqrt{a^{x} - 1}$$$의 도함수

함수 $$$\sqrt{a^{x} - 1}$$$는 두 함수 $$$f{\left(u \right)} = \sqrt{u}$$$와 $$$g{\left(x \right)} = a^{x} - 1$$$의 합성함수 $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$이다.

연쇄법칙 $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$을(를) 적용하십시오:

$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\sqrt{a^{x} - 1}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sqrt{u}\right) \frac{d}{dx} \left(a^{x} - 1\right)\right)}$$

거듭제곱법칙 $$$\frac{d}{du} \left(u^{n}\right) = n u^{n - 1}$$$을 $$$n = \frac{1}{2}$$$에 적용합니다:

$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sqrt{u}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(a^{x} - 1\right) = {\color{red}\left(\frac{1}{2 \sqrt{u}}\right)} \frac{d}{dx} \left(a^{x} - 1\right)$$

역치환:

$$\frac{\frac{d}{dx} \left(a^{x} - 1\right)}{2 \sqrt{{\color{red}\left(u\right)}}} = \frac{\frac{d}{dx} \left(a^{x} - 1\right)}{2 \sqrt{{\color{red}\left(a^{x} - 1\right)}}}$$

합/차의 도함수는 도함수들의 합/차이다:

$$\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(a^{x} - 1\right)\right)}}{2 \sqrt{a^{x} - 1}} = \frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(a^{x}\right) - \frac{d}{dx} \left(1\right)\right)}}{2 \sqrt{a^{x} - 1}}$$

$$$n = a$$$을 사용하여 지수법칙 $$$\frac{d}{dx} \left(n^{x}\right) = n^{x} \ln\left(n\right)$$$을 적용하십시오:

$$\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(a^{x}\right)\right)} - \frac{d}{dx} \left(1\right)}{2 \sqrt{a^{x} - 1}} = \frac{{\color{red}\left(a^{x} \ln\left(a\right)\right)} - \frac{d}{dx} \left(1\right)}{2 \sqrt{a^{x} - 1}}$$

상수의 도함수는 $$$0$$$입니다:

$$\frac{a^{x} \ln\left(a\right) - {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(1\right)\right)}}{2 \sqrt{a^{x} - 1}} = \frac{a^{x} \ln\left(a\right) - {\color{red}\left(0\right)}}{2 \sqrt{a^{x} - 1}}$$

따라서, $$$\frac{d}{dx} \left(\sqrt{a^{x} - 1}\right) = \frac{a^{x} \ln\left(a\right)}{2 \sqrt{a^{x} - 1}}$$$.