$$$\sqrt{1 - x^{2}}$$$의 도함수

함수 $$$\sqrt{1 - x^{2}}$$$는 두 함수 $$$f{\left(u \right)} = \sqrt{u}$$$와 $$$g{\left(x \right)} = 1 - x^{2}$$$의 합성함수 $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$이다.

연쇄법칙 $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$을(를) 적용하십시오:

$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\sqrt{1 - x^{2}}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sqrt{u}\right) \frac{d}{dx} \left(1 - x^{2}\right)\right)}$$

거듭제곱법칙 $$$\frac{d}{du} \left(u^{n}\right) = n u^{n - 1}$$$을 $$$n = \frac{1}{2}$$$에 적용합니다:

$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sqrt{u}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(1 - x^{2}\right) = {\color{red}\left(\frac{1}{2 \sqrt{u}}\right)} \frac{d}{dx} \left(1 - x^{2}\right)$$

역치환:

$$\frac{\frac{d}{dx} \left(1 - x^{2}\right)}{2 \sqrt{{\color{red}\left(u\right)}}} = \frac{\frac{d}{dx} \left(1 - x^{2}\right)}{2 \sqrt{{\color{red}\left(1 - x^{2}\right)}}}$$

합/차의 도함수는 도함수들의 합/차이다:

$$\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(1 - x^{2}\right)\right)}}{2 \sqrt{1 - x^{2}}} = \frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(1\right) - \frac{d}{dx} \left(x^{2}\right)\right)}}{2 \sqrt{1 - x^{2}}}$$

거듭제곱법칙 $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$을 $$$n = 2$$$에 적용합니다:

$$\frac{- {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x^{2}\right)\right)} + \frac{d}{dx} \left(1\right)}{2 \sqrt{1 - x^{2}}} = \frac{- {\color{red}\left(2 x\right)} + \frac{d}{dx} \left(1\right)}{2 \sqrt{1 - x^{2}}}$$

상수의 도함수는 $$$0$$$입니다:

$$\frac{- 2 x + {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(1\right)\right)}}{2 \sqrt{1 - x^{2}}} = \frac{- 2 x + {\color{red}\left(0\right)}}{2 \sqrt{1 - x^{2}}}$$

따라서, $$$\frac{d}{dx} \left(\sqrt{1 - x^{2}}\right) = - \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$$$.