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$$$y$$$에 대한 $$$\sin{\left(x y \right)}$$$의 도함수
관련 계산기: 로그 미분 계산기, 암시적 미분 계산기 (단계별 풀이)
사용자 입력
$$$\frac{d}{dy} \left(\sin{\left(x y \right)}\right)$$$을(를) 구하시오.
풀이
함수 $$$\sin{\left(x y \right)}$$$는 두 함수 $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$와 $$$g{\left(y \right)} = x y$$$의 합성함수 $$$f{\left(g{\left(y \right)} \right)}$$$이다.
연쇄법칙 $$$\frac{d}{dy} \left(f{\left(g{\left(y \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dy} \left(g{\left(y \right)}\right)$$$을(를) 적용하십시오:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dy} \left(\sin{\left(x y \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dy} \left(x y\right)\right)}$$사인 함수의 도함수는 $$$\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right) = \cos{\left(u \right)}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right)\right)} \frac{d}{dy} \left(x y\right) = {\color{red}\left(\cos{\left(u \right)}\right)} \frac{d}{dy} \left(x y\right)$$역치환:
$$\cos{\left({\color{red}\left(u\right)} \right)} \frac{d}{dy} \left(x y\right) = \cos{\left({\color{red}\left(x y\right)} \right)} \frac{d}{dy} \left(x y\right)$$상수배 법칙 $$$\frac{d}{dy} \left(c f{\left(y \right)}\right) = c \frac{d}{dy} \left(f{\left(y \right)}\right)$$$을 $$$c = x$$$와 $$$f{\left(y \right)} = y$$$에 적용합니다:
$$\cos{\left(x y \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dy} \left(x y\right)\right)} = \cos{\left(x y \right)} {\color{red}\left(x \frac{d}{dy} \left(y\right)\right)}$$멱법칙 $$$\frac{d}{dy} \left(y^{n}\right) = n y^{n - 1}$$$을 $$$n = 1$$$에 대해 적용하면, 즉 $$$\frac{d}{dy} \left(y\right) = 1$$$:
$$x \cos{\left(x y \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dy} \left(y\right)\right)} = x \cos{\left(x y \right)} {\color{red}\left(1\right)}$$따라서, $$$\frac{d}{dy} \left(\sin{\left(x y \right)}\right) = x \cos{\left(x y \right)}$$$.
정답
$$$\frac{d}{dy} \left(\sin{\left(x y \right)}\right) = x \cos{\left(x y \right)}$$$A