$$$\ln\left(\sqrt{x} + 2\right)$$$의 도함수

함수 $$$\ln\left(\sqrt{x} + 2\right)$$$는 두 함수 $$$f{\left(u \right)} = \ln\left(u\right)$$$와 $$$g{\left(x \right)} = \sqrt{x} + 2$$$의 합성함수 $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$이다.

연쇄법칙 $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$을(를) 적용하십시오:

$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(\sqrt{x} + 2\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) \frac{d}{dx} \left(\sqrt{x} + 2\right)\right)}$$

자연로그 함수의 도함수는 $$$\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) = \frac{1}{u}$$$:

$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(\sqrt{x} + 2\right) = {\color{red}\left(\frac{1}{u}\right)} \frac{d}{dx} \left(\sqrt{x} + 2\right)$$

역치환:

$$\frac{\frac{d}{dx} \left(\sqrt{x} + 2\right)}{{\color{red}\left(u\right)}} = \frac{\frac{d}{dx} \left(\sqrt{x} + 2\right)}{{\color{red}\left(\sqrt{x} + 2\right)}}$$

합/차의 도함수는 도함수들의 합/차이다:

$$\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\sqrt{x} + 2\right)\right)}}{\sqrt{x} + 2} = \frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\sqrt{x}\right) + \frac{d}{dx} \left(2\right)\right)}}{\sqrt{x} + 2}$$

상수의 도함수는 $$$0$$$입니다:

$$\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(2\right)\right)} + \frac{d}{dx} \left(\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x} + 2} = \frac{{\color{red}\left(0\right)} + \frac{d}{dx} \left(\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x} + 2}$$

거듭제곱법칙 $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$을 $$$n = \frac{1}{2}$$$에 적용합니다:

$$\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\sqrt{x}\right)\right)}}{\sqrt{x} + 2} = \frac{{\color{red}\left(\frac{1}{2 \sqrt{x}}\right)}}{\sqrt{x} + 2}$$

간단히 하시오:

$$\frac{1}{2 \sqrt{x} \left(\sqrt{x} + 2\right)} = \frac{1}{2 \left(2 \sqrt{x} + x\right)}$$

따라서, $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(\sqrt{x} + 2\right)\right) = \frac{1}{2 \left(2 \sqrt{x} + x\right)}$$$.