$$$\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x} \right)}$$$의 도함수
관련 계산기: 로그 미분 계산기, 암시적 미분 계산기 (단계별 풀이)
사용자 입력
$$$\frac{d}{dx} \left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x} \right)}\right)$$$을(를) 구하시오.
풀이
함수 $$$\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x} \right)}$$$는 두 함수 $$$f{\left(u \right)} = \operatorname{atan}{\left(u \right)}$$$와 $$$g{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$$$의 합성함수 $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$이다.
연쇄법칙 $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$을(를) 적용하십시오:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x} \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\operatorname{atan}{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x}\right)\right)}$$아크탄젠트 함수의 도함수는 $$$\frac{d}{du} \left(\operatorname{atan}{\left(u \right)}\right) = \frac{1}{u^{2} + 1}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\operatorname{atan}{\left(u \right)}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x}\right) = {\color{red}\left(\frac{1}{u^{2} + 1}\right)} \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x}\right)$$역치환:
$$\frac{\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x}\right)}{{\color{red}\left(u\right)}^{2} + 1} = \frac{\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x}\right)}{{\color{red}\left(\frac{1}{x}\right)}^{2} + 1}$$거듭제곱법칙 $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$을 $$$n = -1$$$에 적용합니다:
$$\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x}\right)\right)}}{1 + \frac{1}{x^{2}}} = \frac{{\color{red}\left(- \frac{1}{x^{2}}\right)}}{1 + \frac{1}{x^{2}}}$$간단히 하시오:
$$- \frac{1}{x^{2} \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)} = - \frac{1}{x^{2} + 1}$$따라서, $$$\frac{d}{dx} \left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x} \right)}\right) = - \frac{1}{x^{2} + 1}$$$.
정답
$$$\frac{d}{dx} \left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x} \right)}\right) = - \frac{1}{x^{2} + 1}$$$A