쌍곡선 $$$- 16 x^{2} + 9 y^{2} = 144$$$의 성질

쌍곡선 $$$- 16 x^{2} + 9 y^{2} = 144$$$의 중심, 초점, 정점, 부정점, 장축의 길이, 장반경, 단축의 길이, 단반경, 통경, 통경의 길이(초점폭), 초점매개변수, 이심률, 선형 이심률(초점거리), 준선, 점근선, x절편, y절편, 정의역, 치역을 구하시오.

쌍곡선의 방정식은 $$$\frac{\left(y - k\right)^{2}}{b^{2}} - \frac{\left(x - h\right)^{2}}{a^{2}} = 1$$$이며, 여기서 $$$\left(h, k\right)$$$는 중심이고 $$$a$$$와 $$$b$$$는 반장축과 반단축의 길이이다.

이 꼴에서 우리의 쌍곡선은 $$$\frac{\left(y - 0\right)^{2}}{16} - \frac{\left(x - 0\right)^{2}}{9} = 1$$$입니다.

따라서 $$$h = 0$$$, $$$k = 0$$$, $$$a = 3$$$, $$$b = 4$$$.

표준형은 $$$\frac{y^{2}}{4^{2}} - \frac{x^{2}}{3^{2}} = 1$$$입니다.

꼭짓점형은 $$$\frac{y^{2}}{16} - \frac{x^{2}}{9} = 1$$$입니다.

일반형은 $$$16 x^{2} - 9 y^{2} + 144 = 0$$$입니다.

선이심(초점거리)은 $$$c = \sqrt{b^{2} + a^{2}} = 5$$$입니다.

이심률은 $$$e = \frac{c}{b} = \frac{5}{4}$$$입니다.

첫 번째 초점은 $$$\left(h, k - c\right) = \left(0, -5\right)$$$입니다.

두 번째 초점은 $$$\left(h, k + c\right) = \left(0, 5\right)$$$입니다.

첫 번째 꼭짓점은 $$$\left(h, k - b\right) = \left(0, -4\right)$$$입니다.

두 번째 꼭짓점은 $$$\left(h, k + b\right) = \left(0, 4\right)$$$입니다.

첫 번째 보조 정점은 $$$\left(h - a, k\right) = \left(-3, 0\right)$$$입니다.

두 번째 부정점은 $$$\left(h + a, k\right) = \left(3, 0\right)$$$입니다.

장축의 길이는 $$$2 b = 8$$$입니다.

단축의 길이는 $$$2 a = 6$$$입니다.

초점 매개변수는 초점과 준선 사이의 거리입니다: $$$\frac{a^{2}}{c} = \frac{9}{5}$$$.

Latera recta는 각 초점을 지나고 단축에 평행한 직선들이다.

첫 번째 준현은 $$$y = -5$$$입니다.

두 번째 준통경은 $$$y = 5$$$입니다.

첫 번째 통경의 끝점은 연립방정식 $$$\begin{cases} 16 x^{2} - 9 y^{2} + 144 = 0 \\ y = -5 \end{cases}$$$를 풀어 구할 수 있습니다(단계는 연립방정식 계산기를 참조하세요).

첫 번째 준점현의 양 끝점은 $$$\left(- \frac{9}{4}, -5\right)$$$, $$$\left(\frac{9}{4}, -5\right)$$$입니다.

제2 준현의 양 끝점은 연립방정식 $$$\begin{cases} 16 x^{2} - 9 y^{2} + 144 = 0 \\ y = 5 \end{cases}$$$를 풀면 구할 수 있습니다(풀이 단계는 연립방정식 계산기를 참조하세요).

제2 통경의 양 끝점은 $$$\left(- \frac{9}{4}, 5\right)$$$, $$$\left(\frac{9}{4}, 5\right)$$$입니다.

latera recta(초점 너비)의 길이는 $$$\frac{2 a^{2}}{b} = \frac{9}{2}$$$입니다.

첫 번째 준선은 $$$y = k - \frac{b^{2}}{c} = - \frac{16}{5}$$$입니다.

두 번째 준선은 $$$y = k + \frac{b^{2}}{c} = \frac{16}{5}$$$입니다.

첫 번째 점근선은 $$$y = - \frac{b}{a} \left(x - h\right) + k = - \frac{4 x}{3}$$$입니다.

두 번째 점근선은 $$$y = \frac{b}{a} \left(x - h\right) + k = \frac{4 x}{3}$$$입니다.

x절편은 방정식에 $$$y = 0$$$를 대입하고 $$$x$$$에 대해 풀면 구할 수 있습니다(단계는 intercepts calculator를 참고하세요).

실수해가 없으므로 x절편은 없습니다.

y-절편은 방정식에서 $$$x = 0$$$를 0으로 두고 $$$y$$$에 대해 풀어 구할 수 있습니다(단계는 intercepts calculator 참고).

y절편: $$$\left(0, -4\right)$$$, $$$\left(0, 4\right)$$$

표준형/방정식: $$$\frac{y^{2}}{4^{2}} - \frac{x^{2}}{3^{2}} = 1$$$A.

꼭짓점형/방정식: $$$\frac{y^{2}}{16} - \frac{x^{2}}{9} = 1$$$A.

일반형/방정식: $$$16 x^{2} - 9 y^{2} + 144 = 0$$$A.

첫 번째 초점-준선 형식/방정식: $$$x^{2} + \left(y + 5\right)^{2} = \frac{25 \left(y + \frac{16}{5}\right)^{2}}{16}$$$A.

두 번째 초점-준선 형태/방정식: $$$x^{2} + \left(y - 5\right)^{2} = \frac{25 \left(y - \frac{16}{5}\right)^{2}}{16}$$$A.

그래프: 그래프 계산기를 참고하세요.

중심: $$$\left(0, 0\right)$$$A.

첫 번째 초점: $$$\left(0, -5\right)$$$A.

두 번째 초점: $$$\left(0, 5\right)$$$A.

첫 번째 꼭짓점: $$$\left(0, -4\right)$$$A.

두 번째 정점: $$$\left(0, 4\right)$$$A.

첫 번째 부정점: $$$\left(-3, 0\right)$$$A.

두 번째 보조 꼭짓점: $$$\left(3, 0\right)$$$A.

장축(실축) 길이: $$$8$$$A.

장반경의 길이: $$$4$$$A.

단축(켤레축) 길이: $$$6$$$A.

준단축의 길이: $$$3$$$A.

첫 번째 통경: $$$y = -5$$$A.

두 번째 준통경: $$$y = 5$$$A.

제1 통경의 양끝점: $$$\left(- \frac{9}{4}, -5\right) = \left(-2.25, -5\right)$$$, $$$\left(\frac{9}{4}, -5\right) = \left(2.25, -5\right)$$$A.

두 번째 준점선의 양 끝점: $$$\left(- \frac{9}{4}, 5\right) = \left(-2.25, 5\right)$$$, $$$\left(\frac{9}{4}, 5\right) = \left(2.25, 5\right)$$$A.

준직경의 길이(초점 너비): $$$\frac{9}{2} = 4.5$$$A.

초점 매개변수: $$$\frac{9}{5} = 1.8$$$A.

이심률: $$$\frac{5}{4} = 1.25$$$A.

선이심(초점거리): $$$5$$$A.

첫 번째 준선: $$$y = - \frac{16}{5} = -3.2$$$A.

두 번째 준선: $$$y = \frac{16}{5} = 3.2$$$A.

첫 번째 점근선: $$$y = - \frac{4 x}{3}\approx - 1.333333333333333 x$$$A.

두 번째 점근선: $$$y = \frac{4 x}{3}\approx 1.333333333333333 x$$$A.

x-절편: x절편이 없음.

y절편: $$$\left(0, -4\right)$$$, $$$\left(0, 4\right)$$$A.

정의역: $$$\left(-\infty, \infty\right)$$$A.

치역: $$$\left(-\infty, -4\right] \cup \left[4, \infty\right)$$$A.